Задача 1.

Точечный источник S монохроматического света с длиной волны λ=500 нм на расстоянии а=1 м от преграды, представляющей экран с круглым отверстием, диаметр которого d=2 мм. Сколько зон Френеля укладывается в этом отверстии для точки наблюдения Р, находящейся на расстоянии b=1 м от экрана? Постройте зоны Френеля для точки наблюдения Р.

Решение

От точечного источника S распространяется сферическая волна, волновая поверхность которой - сфера. В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждая точка, до которой дошла волна, становится источником вторичных волн, распространяющихся во все стороны. Все вторичные волны когерентны, в точке схождения интерферируют. Поэтому при определенных условиях в точке Р можно наблюдать интерференционную картину. Проведем из точки Р конические поверхности до пересечения с поверхностью сферы (рис. 1). Первая длина PQ образующей конической поверхности равна , длина , длина и т.д. На волновой поверхности в результате построения образуются кольцевые зоны – зоны Френеля. Площади зон, как показывает расчет, приблизительно равны, однако действие этих зон в точке Р различно. Разность хода волн, приходящих в точку Р от любой зоны Френеля, не превышает по построению). Поэтому в двух соседних зонах всегда есть такие соответствующие волны, разность хода между которыми в точке схождения Р равна . В точке Р эти волны встретятся в противофазе и погасят друг друга. Волны третьей зоны ослабят действие второй, а волны четвертой ослабят действие третьей и т.д. Если в отверстии DD укладывается только две зоны Френеля, то в точке Р почти не будет света, мы увидим темное пятно, окруженное светлым кольцом. Если в отверстии укладывается три зоны Френеля, то третья ослабит действие второй, свет от первой зоны пройдет, и в точке Р появится светлое пятно, окруженное темным кольцом.

Таким образом, при четном числе зон Френеля в точке Р наблюдается темное пятно, окруженное чередующимися светлыми и темными кольцами, а при нечетном – светлое пятно, окруженное чередующимися темными и светлыми кольцами. Чем больше диаметр отверстия, тем больше зон Френеля укладывается в нем. В этом случае для нахождения суммарного действия всех зон в точке Р надо учитывать не только разности хода от двух соседних зон, но и плавное убывание амплитуды колебаний, приходящих в точку Р от более далеких, по сравнению с центральной, зон.

Получим выражение радиуса r_k зоны Френеля с номером k, отстоящей от источника S монохроматических волн длины λ на расстояние a, а от точки наблюдения P на расстояние . При этом a>>λ, b>>λ. Введем следующие обозначения (рис. 1): , , PC=b, OC=x, . Из треугольников SOD и POD выразим по теореме Пифагора:

.

Приравняв правые части двух последних равенств, выразим х. Величиной можно пренебречь по сравнению с другими слагаемыми. Тогда получим:

Подставим x в выражение для . Тогда, пренебрегая вторым слагаемым, получим:

Отсюда внешний радиус k-той зоны Френеля будет равен

. (1)

По условию задачи . Выразим из (1) число зон k, укладывающихся в отверстии.

Подставляя численные значения, получим:

Ответ: число зон k в отверстии = 4, в точке Р будет темное пятно.