Собственные затухающие колебания
До сих пор мы рассматривали колебательные процессы в системах, где действовала одна единственная сила — упругая или квазиупругая («как упругая»). Уравнение такого движения записывается просто:
.
Теперь введём в систему ещё одну силу — силу вязкого сопротивления, пропорциональную скорости движения:
.
Здесь r — коэффициент сопротивления. Знак минус означает, что сила сопротивления и скорость всегда направлены противоположно.
Закон движения — второй закон Ньютона — теперь примет такой вид:
.
В стандартном виде его записывают так:
. (13.7)
Это основное уравнение динамики гармонического осциллятора с вязким трением. Решением этого уравнения является гармоническая функция (рис. 13.3):
. (13.8)
Рис. 13.3
Амплитуда колебаний осциллятора с вязким сопротивлением убывает со временем по экспоненциальному закону:
. (13.9)
Здесь d = 
— коэффициент затухания.
Частота затухающих колебаний w отличается от частоты собственных незатухающих колебаний w0:
.
Вычислим время – t, в течение которого амплитуда колебаний уменьшится в e раз (e = 2.718 — основание натурального логарифма). При таком уменьшении амплитуды — почти в 3 раза — условно принято считать, что процесс «затух» и система вернулась к положению равновесия.
.
Отсюда следует, что время релаксации t обратно пропорционально коэффициенту затухания d:
(13.10)
Важной характеристикой затухающих колебаний является логарифмический декремент затухания d, равный логарифму отношения амплитуд двух соседних колебаний:
. (13.11)
Численно логарифмический декремент затухания равен произведению коэффициента затухания на период колебаний.
Величина, с точностью до множителя p обратная декременту затухания, называется добротностью осциллятора:
. (13.12)
Подсчитаем число колебаний, которое система совершает за время релаксации t.
.
Отсюда следует, что добротность осциллятора с точностью до p равна числу колебаний, за которое амплитуда падает в e раз.
Q = pNt.
Можно показать, что добротность осциллятора напрямую связана с энергетическими потерями в системе:
. (13.13)
Здесь: Е — энергия осциллятора;
DЕ — убыль энергии за одно полное колебание (за период).