Доказательство теоремы Котельникова

Запишем на основании (4.4) выражение U(t) через спектральную характеристику S(jΩ)

(5.4)

Так как выражение (5.4) справедливо для любого момента времени t, то оно справедливо и для моментов времени kΔt, т. е. .

1 шаг: перепишем (5.4) для дискретных моментов времени

, (5.5)

где ;

2 шаг: представим, что спектральная характеристика S(jΩ) периодически повторяется с периодом 2Ω_С . Спектр периодической функции определяется суммой спектральных коэффициентов через обратное преобразование Фурье:

(5.6)

Спектральные коэффициенты определяются прямым преобразованием Фурье

(5.7)

3 шаг: сравним выражения (5.5) и (5.7). Из выражений (5.5) и (5.7) выразим интегралы и приравниваем их между собой. В результате получим

(5.8)

Из (5.8) следует: , т. е. дискретные отсчеты полностью определяют спектральные коэффициенты

Из (5.6) следует: , т. е. спектральные коэффициенты полностью определяют исходную функцию, в нашем случае спектральную характеристику S(jΩ).

В свою очередь, в соответствии с выражением (5.4) Спектральная характеристика полностью определяет исходный непрерывный сигнал .

Таким образом, , то есть дискретные отсчеты, взятые через интервал времени Δt, полностью определяют исходный непрерывный сигнал.