Сплайны, составленные из рациональных кривых Безье

 

Даже такие достаточно развитые средства аппроксимации кривыми Безье не позволяют построить окружность:, так как sin и cos для достаточно хорошего приближения требуют многочленов высокой степени, поэту вводится более широкий класс кривых, способ построения которых связан с представлением о проективном пространстве.

Рис. 15. Рациональная кривая Безье.

Пусть у нас есть пространственная кривая Безье ,в системе координатOXYw, спроецируем все точки исходной кривой на плоскость w=1. Т.е. : , где (см. Рис. 15). Полученная кривая, лежащая в плоскости w=1, и называется рациональной двумерной кривой Безье.

Аналогичным образом можно получать рациональные кривые Безье и в пространстве большего числа измерений. будем называть опорными точками рациональной кривой Безье, а - весовыми функциями.

Рассмотрим пример представления окружности составленной из 3-х рациональных кубических кривых Безье. Возьмем для примера один из сегментов. Положим , а

Рис. 16. Сегмент окружности, представленный рациональной кривой Безье.

, где R - радиус окружности.

 

 

Рис. 17. Изображение окружности.

Итоговое изображение представлено на Рис. 17. Отметим, что за рамками данной лекции остались не разобранными многие важные вопросы, требующие более тщательного рассмотрения. Среди них следует отметить : 1) B-Splines, являющиеся важным обобщением кривых Безье. 2) Rational B-Splines, обобщение рациональных кривых Безье, в том числе наиболее важным их подмножеством NURBS (Non-Uniform Rational B-Splines), которые в настоящее время являются фактически общепризнанным стандартом представления кривых, так как позволяют наиболее точно передавать форму кривой. 3) Аналогичную теорию можно строить и для поверхностей, что находит не меньшее, а, возможно, и большее применение в приложениях.   Всех интересующихся описанием этих вопросов, а также тех, кто хотел бы узнать более подробно о вышеизложенном материале, отсылаем к замечательной книге [Роджерс, Адамс, 2001].