Закон Гука

3.5.1. Обобщённый закон Гука

Исследуя деформации и рассматривая вопросы прочности при объёмном и плоском напряжённом состояниях, будем в соответствии с основными гипотезами предполагать, что материал следует закону Гука, а деформации малы.

Изучая центральное растяжение (сжатие) прямого бруса, мы выяснили, что при линейном напряжённом состоянии бесконечно малый элемент испытывает продольную и поперечную деформации, связанные с напряжением формулами (2.9) и (2.7);

, . (3.24)

Напомним, что Е – модуль нормальной упругости и ν - коэффициент Пуассона – упругие постоянные материала.

Рассмотрим деформацию элемента, находящегося в объёмном напряжённом состоянии (рис.3.13,а). Определим относительные деформации в главных направлениях ε₁, ε₂ и ε₃. Применяя принцип суперпозиции, можно записать

ε₁ = ε₁₁ + ε₁₂ + ε₁₃.

где ε₁₁ – относительное удлинение в направлении σ₁, вызванное действием только σ₁ (рис. 3.13,б);

ε₁₂ – удлинение в том же направлении, вызванное действием только σ₂ (рис. 3.13,в);

ε₁₃ – удлинение в том же направлении, вызванное действием только σ₃ (рис. 3.13,г).

Поскольку направление σ₁ для самого напряжения σ₁ является продольным, а для напряжений σ₂ и σ₃ – поперечным, то по формулам (3.24) находим

, , .

Сложив эти величины, будем иметь

.

а б в

г