Изложение материалов исследования.

В монографии Н.Ю. Тайца [28] показано, что для цилиндрических тел следует различать термические напряжения:

радиальные на поверхности

, (4.56)

тангенциальные на оси

, (4.57)

и осевые

. (4.58)

Из одинаковости выражения (4.58) с формулой (4.2) вытекает, что формулы для расчета осевых напряжений в цилиндре совпадают с формулами (4.2)...(4.4) для пластины и можно ограничиться анализом этих уравнений. Поэтому задачу определения термических напряжений в цилиндре будем решать в предположении такой же их зависимости от температур на поверхности, в центре и среднемассовой как для плоских тел.

Для цилиндрических тел будут справедливы уравнения (4.2)...(4.8), (4.10), (4.11) для пластины с заменой координатной функции , входящей в уравнение (4.5) , тепловых амплитуд для уравнения (4.6), — для (4.7) и — для (4.8). Теперь корни вместо (4.9) определяются из характеристического уравнения:

, (4.59)

где и — функция Бесселя первого рода нулевого и первого порядка.

Дифференцируя уравнения (4.3), (4.4) и (4.10) по времени, приравнивая производную нулю и используя два члена суммы ряда, получим формулы для расчёта максимальных времен Фурье:

для максимального термического напряжения на поверхности

, (4.60)

перепада температур

(4.61)

и термонапряжения в центре

, (4.62)

где ; ; ; ; .

Здесь и далее под понимается амплитуда .

Подставляя Fо_mах из (4.61) в уравнение (4.55), получим максимальный перепад температур с учётом двух членов ряда:

(4.63)

При выводе (4.63) было учтено, что согласно уравнению (4.61) .

По аналогии подставляя в уравнение (4.3), получим максимальное термическое напряжение на поверхности

(4.64)

и после подстановки (4.62) в (4.4) — максимальное напряжение в центре цилиндра

. (4.65)