Аналитический расчет термических напряжений при конвективном нагреве шаровых тел
Без знания температурных полей и термических напряжений внутри массивного тела невозможно назначить рациональные энерго- и материалосберегающие тепловые и температурные режимы печей или других агрегатов, связанных с тепловой обработкой материалов, например, сушильных установок, химических реакторов и т. п. При значительных скоростях нагрева в шаре могут возникать термические напряжения, превышающие допустимые для данного материала, приводящие в некоторых случаях даже к разрушению тела.
В разделе 4.1 приведены аналитические решения для расчета относительных термических напряжений в любой точке неограниченной пластины при ее конвективном нагреве в печи с постоянной температурой греющей среды tc – см. уравнения (4.1) … (4.55)
Из анализа этих уравнений следует, что динамика изменения напряжений во времени аналогична изменению температурной разности, т.е. резко возрастают, достигая максимального значения при числах Фурье Fomax=0,05…0,50, а затем постепенно падают, т.е. носят колоколообразный характер.
На практике иногда важнее знать не всю динамику изменений напряжений во времени, а только их максимально возможные характерные величины. Целью данного раздела является аналитическое определение указанных величин для шаровых тел.
Задачу определения термических напряжений в шаре будем решать в предположении такой же их зависимости от температур на поверхности, в центре и среднемассовой как для плоских тел.
Для шаровых тел будут справедливы уравнения (4.2)...(4.8), (4.0), (4.1) для пластины с заменой координатной функции 
, входящей в уравнение (4.5)
,тепловых амплитуд 
для уравнения (4.6), 
— для (4.7) и 
— для (4.8). Теперь 
вместо (4.9) определяется из характеристического уравнения:
, (4.108)
где 
.
Дифференцируя уравнения (4.3), (4.4) и (4.10) по времени, приравнивая производную нулю и используя два члена суммы ряда, получим формулы для расчёта максимальных времен Фурье:
•для максимального термического напряжения на поверхности
, (4.109)
•перепада температур
(4.110)
•термонапряжения в центре
, (4.111)
где 
; 
; 
; 
; 
.
Здесь и далее под 
понимается амплитуда 
.
Подставляя Fоmах из (4.110) в уравнение (4.111), получим максимальный перепад температур с учётом двух членов ряда:
(4.112)
При выводе (4.112) было учтено, что согласно уравнению (4.110) 
.
По аналогии подставляя 
в уравнение (4.3), получим максимальное термическое напряжение на поверхности
(4.113)
и после подстановки (4.31) в (4.120) — максимальное напряжение в центре шара
. (4.114)