Уравнение момента импульса для вращения вокруг неподвижной оси. Момент инерции

Применим уравнение моментов относительно оси к рассмотрению вращательного движения. За неподвижную ось моментов удобно выбрать ось вращения.

Если материальная точка вращается по окружности радиуса r (см. рис.4.2), то момент ее импульса относительно оси вращения О равен L = mVr. Пусть w - угловая скорость вращения, тогда V =wr и, следовательно, L = mr²w.

Рис. 4.2

Если вокруг оси О вращается система материальных точек с одной и той же угловой скоростью ω, то L = , где суммирование производится по всем материальным точкам системы. Величину w как одинаковую для всех материальных точек можно вынести из-под знака суммы. Тогда получится

, (4.7)

где

(4.8)

Величина I, равная сумме произведений масс материальных точек на квадраты расстояний их до оси вращения, называется моментом инерции системы относительно этой оси. Уравнение (4.7) показывает, что при вращении системы момент ее импульса относительно оси вращения равен произведению момента инерции относительно той же оси на угловую скорость.

В этом случае Уравнение (4.6) принимает вид

, (4.9)

где М – момент внешних сил относительно оси вращения.

Это – основное уравнение динамики вращательного движения вокруг неподвижной оси. Оно напоминает уравнение Ньютона для движения материальной точки.

Для вращения неизменяемой системы материальных точек или твердого тела вокруг неподвижной оси, для которого I=const, уравнение (4.9) переходит в или

, (4.10)

где e = dw/dt – угловое ускорение.

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела представляется в виде

,

или

. (4.11)