Рассмотрим критерий Гурвица для систем первых трех порядков.
1) Для n = 1 – An(p) = a1p + a0, и условие устойчивости инерционного звена сводится к неравенствам
a1> 0; a0> 0.
2) Для n = 2 – An(p) = a2p2 + a1p + a0,
Поэтому для звена 2-го порядка условие устойчивости имеет вид –
a2> 0; a1> 0; a0> 0.
Например, звено с передаточной функцией W(p) = k/(T22p2+T1p+1) устойчиво, если перед всеми членами в знаменателе стоит знак плюс.
3) Если n = 3, то An (p) = a3p3 + a2p2 + a1p + a0и определитель Гурвица –
.
В этом случае условия устойчивости имеют вид –
a3> 0; a2> 0;
D3= a0D2> 0.
Если D 2> 0, то a0 > 0. Таким образом, условие устойчивости сводится к положительности всех коэффициентов и предпоследнего минора D 2.
В общем случае системы любого порядка необходимым условием устойчивости является требование положительности всех коэффициентов ai. Анализ устойчивости надо начинать с проверки этого простого условия. Если оно не выполняется, то отпадает необходимость в составлении и проверке остальных неравенств.
Для характеристических уравнений невысоких порядков (до 3-го) применение алгебраических критериев достаточно просто. Если же уравнение имеет высокий порядок (n > 4) или система включает звено запаздывания, то применить алгебраические критерии для исследования устойчивости систем затруднительно.
В подобных случаях используютчастотные критерии(например, критерий Михайлова).