В n независимых испытаниях

Пусть вероятности p и q – фиксированы, а k изменяется от 0 до n, тогда вероятность p_n(k) – это функция k. Найдем такое число k₀, которое максимизирует функцию p_n(k). Это число естественно назвать наивероятнейшим числом появления события А (наивероятнейшим числом появления “успеха”). Сравним два числа - p_n(k) и p_n(k+1).

; .

. (6.3)

Это отношение больше 1, если (n - k)p > (k+1)q, тогда np - q > k(p+q) =k.

Итак, пока т.е. вероятности p_n(k) монотонно возрастают. Соответственно, когда k > np - q, то верно неравенство p_n(k+1) < p_n(k) и вероятности p_n(k) начинают монотонно убывать. Если число np – q – целое, то имеем два наивероятнейших числа:и

Если же число np – q – дробное, то наивероятнейшее число k₀одно: k₀– это наименьшее целое число, превосходящее np – q, другими словами, , где символ [а] означает целую часть числа а (рис.6.1).

 

 

Рис.6.1

 

Пояснения к рисунку.

Левая диаграмма Правая диаграмма

; ;

; ;

. .