Вибрация механической системы с распределенными параметрами при внешней периодической нагрузке.

 

Рассмотрим систему с распределенными параметрами, допускающую получение аналитического решения.

В качестве примера рассмотрим трубопровод, находящийся под воздействием сил инерции, упругой реакции материала трубы, демпфирования и внешней периодической нагрузки. Считаем, что трубопровод представляет собой балку на двух опорах. Как и выше, используем модель вязкого демпфирования. Уравнение движения системы будет иметь вид

 

,

(87)

 

где f(x,t) - внешняя нагрузка.

Решение этого уравнения в явной форме состоит из двух частей:

 

,

 

где ‑ общее решение однородного уравнения (без правой части);

‑ частное решение неоднородного уравнения (с правой частью).

На основании изложенного выше считаем, что решение определяет свободные колебания системы, зависящие от начальной формы искривления и от скоростей, сообщаемых в начальный момент времени элементам системы. Эти колебания вследствие наличия демпфирования затухают со временем и остаются лишь вынужденные колебания. Рассмотрим решение .

Рассмотрим случай жесткого закрепления концов. Определим выражение для фундаментальных функций Х_n.

Введем новые обозначения для фундаментальной функции

 

,

 

где А, В, С, D ‑ постоянные интегрирования.

S(x), Т(х), U(x) V(x) ‑ Функции Крылова, определяемые по выражениям:

 

; ;

; ;

 

При использовании функций Крылова полезно иметь в виду следующие их свойства:

 

 

Производные от функций Крылова приведены в табл. 10.