Колебания математического и физического маятников

Математический маятник

Математический маятник представляет собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити, например, небольшой шарик, подвешенный на тонкой длинной нити (рис. 3.8). Отклонение маятника от положения равновесия определяется углом . При отклонении маятника от положения равновесия действует момент силы , модуль которого равен , где - масса шарика;

- длина нити. Направление момента силы таково, что он стремится вернуть маятник в положение равновесия, т.е. по своему действию момент аналогичен упругой силе. Поэтому по аналогии с колебанием груза на пружине противоположный знак следует приписать угловому смещению .

Тогда вращательный момент .

Вращательный момент, действующий на маятник, сообщит маятнику угловое ускорение . Уравнение движения маятника

(2.64)

где J=ml²,

Для малых колебаний =

(2.65)

Обозначим и запишем уравнение колебания математического маятника

(2.66)

Результат решения уравнения (3.38) аналогичен уравнению (3.14) для колебания груза на пружине:

(2.67)

Период и частота колебаний математического маятника

, (2.68)

(2.70)

Физический маятник

Физический маятник состоит из твёрдого тела, совершающего малые колебания.

При отклонении тела от положения равновесия возникает момент силы тяжести М=mglsinα, где l – расстояние между точкой подвеса О и центром инерции С (рис.3.9).

Уравнения колебаний физического маятника:

(2.71)

где , J- момент инерции тела относительно оси, проходящей через точку подвеса О.

Период колебаний физического маятника:

(2.72)

Из сравнения формул (3.43) и (3.40) следует, что математический маятник с приведённой длиной и с подвесом в точке О будет иметь такой же период колебаний, как и физический.