Решение разностных уравнений с помощью z-преобразований

 

Пусть линейное разностное уравнение имеет вид:

.

Для решения должны быть заданы значения в первые моменты времени (m-1)

.

Перепишем исходное уравнение относительно z-изображений

,

где - характеристическое уравнение,

- изображение входного сигнала,

- обусловлен начальными условиями.

В общем случае - полином порядка n, коэффициенты которого зависят от начальных условий. При нулевых начальных условиях

,

- определим в результате обратного z-преобразования

1) Для определения можно разложить на простые дроби и воспользоваться таблицами.

2) Если нас не интересует аналитическое выражение , а только конкретные значения при , то можно разложить в ряд Лорана по убывающим степеням z.

.

Это следует из определения z-преобразований

.

Пример. ;

Представим в виде суммы двух дробей

 

, .

 

 

Отсюда , ; .

 

Тогда .

 

Значит .

 

 

.

 

.

 

Пример. Разложим в ряд Лорана.

 

Отсюда .