Скорость распространения волны в упругой среде

 

Рассмотрим распространение волн в твердой среде, упругие свойства которой характеризуются модулем Юнга Е и модулем сдвига G. Пусть в этой среде распространяется вдоль оси х продольная плоская волна. Выделим в среде слой толщиной Δх и единичной площади, перпендикулярный оси. На рисунке 4.12 первоначальное положение слоя отмечено его пунктирным изображением. Колебания частиц среды в связи с прохождением волны вызывает смещение левого края слоя на расстояние S, а правого – на расстояние S+ΔS. При этом слой деформируется, его толщина меняется на величину ΔS. Отсюда следует, что относительная деформация слоя есть отношение ΔS к Δх, в пределе, когда Δх стремится к нулю, для относительной деформации получается соотношение

. (4.64)

Отсюда получаем формулу для нормального напряжения σ, которое пропорционально относительной деформации, коэффициентом пропорциональности является модуль Юнга.

. (4.65)

Нормальное напряжение численно равно силе, которая действует на единицу площади слоя, растягивая или сжимая его. Тогда суммарная сила, действующая на слой единичной площади в направлении оси х, равна

. (4.66)

Здесь произведено разложение функции σ(x+S+Δx+ΔS) в ряд по степеням малой величины (Δx+ΔS) с учетом членов разложения не выше первого порядка малости и затем учтено, что величина деформации ΔS, в свою очередь, много меньше, чем размер деформируемого тела Δx.

Формулу (4.66) с учетом формулы (4.65) можно преобразовать к виду

. (4.67)

Ускорение выделенного слоя под действием этой силы, согласно второму закону Ньютона,

, (4.67)

где масса слоя единичной площади m=ρV=ρ Δx. Здесь ρ – плотность вещества упругой среды, а объем слоя единичной площади численно равен его толщине. Подстановка выражений для массы и силы в формулу (4.67) приводит к уравнению

, (4.68)

которое является одномерным волновым уравнением типа (4.60). Его решения описывают распространение в упругой среде волн со скоростью

. (4.69)

Аналогичные вычисления для поперечных волн приводят к выражению для их скорости распространения

. (4.70)