Распределение Больцмана

 

Преобразуем показатель экспоненты в формуле (8.10), учтём, что

 

. (8.11)

 

В выражении (8.11) U=mgh – потенциальная энергия одной молекулы в поле силы тяжести. В результате вместо выражения (8.10) получим:

 

. (8.12)

 

Самое замечательное заключается в том, что формула (8.12) справедлива не только в случае потенциального поля силы тяжести, но и в любом потенциальном поле сил для совокупности любых одинаковых частиц, находящихся в состоянии теплового хаотического движения. Формулу (8.12) называютраспределением Больцмана.

Согласно формуле (8.12) количество молекул, попадающих в параллелепипед, расположенный в точке с координатами x, y, z и имеющий объем dV=dxdydz, равно

.

 

Вероятность того, что частица имеет потенциальную энергию

. (8.13)

 

В формуле (8.13) А – нормировочный множитель[13]. События, заключающиеся в том, что молекула имеет кинетическую энергию Е_к и потенциальную энергию , являются статистически независимыми. Поэтому вероятность того, что частица обладает полной энергией Е=Е_к+, на основании выражений (8.4) и (8.13) может быть записана в виде

. (8.14)

 

Подчеркнем, что в формуле (8.14), которую также называют распределением Больцмана, Е – это полная энергия частицы, соответственно, формула (8.14) описывает распределение частиц по энергии. В форме (8.14) распределение Больцмана имеет универсальный характер – оно применимо и для описания квантовых систем. В этом случае полная энергия частицы может принимать только дискретный ряд значений: Е₁, Е₂,…, как это имеет место, например, для энергии атома. В этом случае распределение Больцмана имеет вид

 

. (8.15)

 

где N_i – число частиц, имеющих энергию Е_i, А – нормировочный множитель, который находится из условия

 

, (8.16)

 

где N – полное число частиц в рассматриваемой системе. Выражая постоянную А из уравнения (8.16), получаем окончательное выражение распределения Больцмана для случая дискретных значений энергии:

 

.