Оценка погрешности и сходимость разностной схемы (6), (7a), (11).

В разностной схеме возьмем . При этом будет выполнено неоходимое условие устойчивости Куранта, Фридрихса, Леви, а значит и сходимости. В случае квадратной сетки выражения (6) и (11) принимают вид

. (12)

, (13)

При подстановке в (12) и (13) решения задачи (1),(2) получаем

.(12’)

. (13’)

Вычтем из равенств (12’) и (13’) соответственно равенства (12) и (13). В результате вычитания получим для погрешности систему

(14)

(15)

Возьмем произвольную точку S множества D и зафиксируем ее. Координаты этой точки в дальнейшем считаем константами, не зависящими от шага сетки. Построим квадратную сетку так, чтобы в точке S получался узел сетки . Оценим погрешность решения в точке S, то есть величину . Для начала перепишем (14) в виде

(16)

При m=0 (16) совпадает с (14) с точностью до перестановки слагаемых. При m=j-1

в (16) наименьший второй индекс становится равным нулю. Просуммируем равенства (16) по m в указанных пределах, тогда получим

(17)

При суммировании левых частей сократились все слагаемые, за исключением первого и последнего. Аналогично сократились слагаемые при получении правой части.

Перепишем (17) в виде

(18)

При k=0 выражение (18) совпадает с (17) с учетом, что погрешность на нулевом слое равна нулю и выполнен перенос слагаемых. При k=j-1 под знаком суммы остается только одно слагаемое. Просуммируем равенства (18) по индексу k в указанных пределах, тогда получим

(19)

Из (19) следует оценка

(20)

Здесь через и R обозначены модули максимальных по модулю соответствующих погрешностей аппроксимации. Поскольку фиксировано (не зависит от шага сетки), а погрешности аппроксимации есть величины порядка , то доказанная оценка (17) показывает, что во всякой ограниченной части области метод сеток равномерно сходится со скоростью .

Переходим к рассмотрению смешанной задачи.