Исследование метода матричной прогонки на устойчивость.
Теорема. В расчетных формулах (7) матрицы имеют обратные.
Доказательство. Задано . Пусть . Будем использовать сферическую (евклидову) норму вектора и подчиненную ей матричную норму. Можно показать, что для данной симметричной матрицы все собственные значения удовлетворяют неравенству . Поэтому для произвольного вектора справедливо .
Для произвольного вектора имеем
. (8)
Отсюда получаем, что однородная система имеет только тривиальное решение. Поэтому матрица системы неособенная и имеет обратную.
Возьмем произвольный вектор . Для него существует ненулевой вектор , такой, что . Из (8) следует или Отсюда . Теорема доказана.
При изложении материала за основу взяты
4) страницы 188-191 учебного пособия: Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы:, т.2.-М.:Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1977.
5) страницы 411-418 учебного пособия: Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы.- М.: Наука, 1989.
11.5. Разностные схемы для одномерного параболического уравнения.
Смешанная задача для одномерного параболического уравнения. Явная и неявная разностные схемы. Разрешимость неявной разностной схемы.
Оценка погрешности аппроксимации и исследование разностных схем на устойчивость.