Вторая интерполяционная формула Ньютона
Вторая интерполяционная формула Ньютона применяется, когда значение аргумента ближе к концу отрезка интерполяции (формула для интерполирования назад). Интерполяционный многочлен ищется в виде многочлена n-ой степени:
Pn(x) = a0+ a1(x-xn) + a2(x-xn)(x-xn-1) +…+ an(x-xn)…(x-x1) (4)
Коэффициенты a0, a1, …, an находятся из условия совпадения значения исходной функции f(x) и интерполяционного многочлена Pn(x) в узлах: .
Подставив ak в (4) и перейдя к переменной , получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:
.
Погрешность вычислений оценивается следующим образом:
.
Рассмотрим задачу субтабулирования (уплотнения таблицы) функции на отрезке. Введем следующие обозначения:
a, b – концы субтабулирования;
H0 – старый шаг таблицы;
H – новый шаг таблицы;
y1, y2, y3 – конечные разности 1-го, 2-го, 3-го порядка;
d – границы погрешности метода.
Для вычисления конечных разностей составляется таблица:
xi | yi=sin xi | D yi | D2 yi | D3 yi |
0,150 | 0,14944 | 0,00494 | 0,00000 | -0,00001 |
0,155 | 0,15438 | 0,00494 | -0,00001 | 0,00001 |
0,160 | 0,15932 | 0,00493 | 0,00000 | 0,00000 |
0,165 | 0,16425 | 0,00493 | 0,00000 | -0,00001 |
0,170 | 0,16918 | 0,00493 | -0,00001 | |
0,175 | 0,17411 | 0,00492 | ||
0,180 | 0,17903 |
Блок-схема уплотнения таблиц функций:
Программа уплотнения таблиц функций (субтабулирования)
program subtab;
var a,b,d,h0,h,y,y0,y1,y2,y3,x,t : real;
begin
writeln;
write('Введите a, b, H0, H - ');
readln(a,b,H0,H);
write('Введите Y0, конечные разности Y1, Y2, y3 - ');
readln(Y0,Y1,Y2,y3);
writeln(' X Y D');
x:=a;
while x<=b do
begin t:=(x-a)/h0;
y:=y0+t*y1+t*(t-1)*y2/2;
d:=y3*t*(t-1)*(t-2)/6;
writeln(x:8:4, y:12:6, d:14:8);
x:=x+h
end;
readln;
end.
Введите a, b, H0, H - 0.155 0.165 0.005 0.001
Введите Y0, конечные разности Y1, Y2, y3 –
0.15438 0.00494 -0.00001 0.00001
X Y D
0.1550 0.154380 0.00000000
0.1560 0.155369 0.00000048
0.1570 0.156357 0.00000064
0.1580 0.157345 0.00000056
0.1590 0.158333 0.00000032
0.1600 0.159320 0.00000000
0.1610 0.160307 -0.00000032
0.1620 0.161293 -0.00000056
0.1630 0.162279 -0.00000064
0.1640 0.163265 -0.00000048
0.1650 0.164250 -0.00000000