Вычисление производных
1.
,
2. ,
3. ,
.
Дифференцирование неявно заданных функций
Если функция задана неявно, перед дифференцированием следует определиться, какую переменную считать аргументом. Пусть . Считаем назависимой переменной, функцией. Можно из уравнения определить и , тогда и . Но можно поступить по-другому. Дифференцируем обе части уравнения по переменной , используя при этом правило дифференцирования сложных функций , откуда следует .
После подстановки в полученную формулу значения , естественно получаем те же формулы для производной.
В рассмотренном случае из неявного задания функции можно было перейти к явному ее заданию. Иногда это невозможно, и приходится применять второй способ. Пусть
.
Отметим, что здесь уже задано, что следует считать функцией . Дифференцируем по , считая промежуточным аргументом
.
Дифференцирование функций, заданных параметрически
Ранее было получено для имеем .
Пусть ,
тогда и .
«Логарифмическое» дифференцирование
Здесь имеется ввиду дифференцирование с предварительным логарифмированием функции. Пусть . При вычислении производной нет возможности использовать таблицу производных, так как эта функция не является ни степенной, ни показательной. Прологарифмируем обе части уравнения . В результате от явного задания функции перешли к неявному, при этом функция стала более удобной для дифференцирования. В самом деле . В результате
.