Вычисление производных

1.

,

2. ,

3. ,

.

Дифференцирование неявно заданных функций

Если функция задана неявно, перед дифференцированием следует определиться, какую переменную считать аргументом. Пусть . Считаем назависимой переменной, функцией. Можно из уравнения определить и , тогда и . Но можно поступить по-другому. Дифференцируем обе части уравнения по переменной , используя при этом правило дифференцирования сложных функций , откуда следует .

После подстановки в полученную формулу значения , естественно получаем те же формулы для производной.

В рассмотренном случае из неявного задания функции можно было перейти к явному ее заданию. Иногда это невозможно, и приходится применять второй способ. Пусть

.

Отметим, что здесь уже задано, что следует считать функцией . Дифференцируем по , считая промежуточным аргументом

.

 

Дифференцирование функций, заданных параметрически

Ранее было получено для имеем .

Пусть ,

тогда и .

«Логарифмическое» дифференцирование

Здесь имеется ввиду дифференцирование с предварительным логарифмированием функции. Пусть . При вычислении производной нет возможности использовать таблицу производных, так как эта функция не является ни степенной, ни показательной. Прологарифмируем обе части уравнения . В результате от явного задания функции перешли к неявному, при этом функция стала более удобной для дифференцирования. В самом деле . В результате

.