Гамильтонов цикл. Гамильтонов граф. Тэта-граф.

Задача Гамильтона: совершить кругосветное путешествие по ребрам додекаэдра, вершины которого символизировали крупные города Земли, при этом побывать в каждом городе ровно по одному разу.

На рисунке – развертка додекаэдра.

Гамильтонов цикл – это простой цикл, проходящий через все вершины графа.

Гамильтонов граф – это граф, в котором содержащий хотя бы один гамильтонов цикл.

Полные графы – гамильтоновы.

Связный граф называется -связным, если для превращения его в несвязного графа нужно удалить не менее вершин.

Пример трехсвязного графа – колесо :

Связностью графа называется наименьшее число его вершин, удаление которых приводит к несвязному или тривиальному графу.

Легко видеть, что односвязные графы негамильтоновы.

Значит, гамильтоновы графы двусвязные, т.е. они связности 2 и более.

Тэта-графом называют граф, содержащий две вершины степени 3, соединенные тремя простыми попарно непересекающимися цепями длины не менее двух:

Если двусвязный граф содержит тета-граф, то он негамильтонов граф.

Приведем примеры графов, обладающих или не обладающих свойствами эйлеровости и гамильтоновости.

граф	гамильтонов	Не гамильтонов
эйлеров
не эйлеров