Параграф 1.5: Комплексная и экспонентациальная форма представления ряда Фурье.

Другая форма представления гармонического ортогонального базиса на интервале ¸ основывается на использовании комплексных экспонентациальных функций вида:

, n = 0, ± 1, ± 2, …

(*)

Представление f(t) в виде ряда (*) называется комплексным, или экспонентациальным, рядом Фурье.

Коэффициенты этого ряда так же вычисляются по формулам для коэффициентов обобщенного ряда Фурье, и принимают вид:

(**)

Из (**) следует, что коэффициенты ряда F_n являются комплексными величинами, т.е. их можно представить в виде:

(***)

Если раскладываемая функция f(t) является действительной, коэффициенты F_n и F_-_n в выражении (*) являются комплексно-сопряженными, т.е. если F_n определяется выражением (***), то F_-_n будет определяться:

Наличие в разложении (*) коэффициент F_-_n эквивалентно присутствию в спектре f(t) составляющих, соответствующих отрицательным частотам . Для того чтобы понять смысл отрицательных частот, отметим, что в выражении (*) каждому значению соответствует пара , которые являются комплексно-сопряженными. При этом сумма:

является действительной. Т.о., отрицательные частоты – это понятие физическое, а не математическое. С его помощью оказывается возможным представить действительную функцию f(t) в комплексном базисе с комплексными коэффициентами. Тригонометрические и комплексные ряды Фурье представляют собой два различных способа записи обобщенного ряда Фурье в гармоническом базисе. Между коэффициентами a_n, b_n тригонометрического ряда и F_n существует взаимосвязь.

Воспользовавшись формулой Эйлера, имеющей вид , можно показать, что

При n = 0 получаем a₀ = F₀:

С использованием полученных результатов можно установить взаимосвязь между коэффициентами F_n и параметрами фаз и амплитуд:

Полученные соотношения позволяют убедиться, что совокупность значений характеризует спектр амплитуд, а совокупность - спектр фаз. Отметим, что спектр амплитуд является четной, а спектр фаз – нечетной функций номера n или частоты. Представление ряда Фурье в комплексной форме является более компактным. Кроме того, для определения коэффициентов F_n необходимо вычислить только один интеграл, а не два.