Лекция 13.

Пусть М₀ (x₀,y₀)- стационарная точка функции z=f(x,y) обозначим А=. B=, C= .

И оставим дискриминант ∆=АС-В². Тогда

· Если ∆>0, то функция имеет в точке М₀ экстремум, а именно максимум при А<0 (если С<0) и минимум при А>0 (или С>0)

· Если ∆<0, то функция имеет в точке М₀ экстремума нет.

· (достаточные условия наличия или отсутствия)

если ∆=0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

 

Найти экстремум функции z=x²+xy+y²-3x-6y

∆ находим частные производные первого порядка:

Воспользовавшись необходимыми условиями экстремума, находим стационарные точки.

2x+y-3=0

X+2y-6=0

Откуда x=0, y=3 М(0;3)

 

Находим значение частных производных второго порядка в точке М:

2

2

И составляем дискриминант ∆ АС-В²= 2*2-1=3>0, А>0, Следовательно, в точке М(0;3)

Заданная функция имеет минимум. Значение функции в этой точке

Z _min =-9

 

2) Исследовать на экстремум функцию

Z=x²-y²

Имеем f `x=2x, f `(y)=-2y.

Решая систему уравнений 2х=0, -2y=0.Получаем что, М₀ (0,0)-точка возможного экстремума.

Так как f ``xx=2, f `` yy= -2, f `` xy=0 и ∆2*(-2)-0=-4<0, то в точке М₀ (0,0) экстремума нет.\

 

3) Исследовать на экстремум функцию

Z=x⁴-y⁴

Имеем f `x=4x³, f `(y)=4y³.

f ``xx=12х², f `` yy=12y² , f `` xy=0

Решая систему уравнений

4x³=0 4³y=0, находим, что , М₀ (0,0)- точка возможного экстремума.

В этой точке f ``xx(0,0)=0 f `` yy(0,0)=0

∆=0. Согласно замечанию в этой точке М₀ (0,0) экстремум может быть и может и не быть. В данном случае экстремум есть, т.к. z>0 во всех точках кроме М₀ и Z=0 в точке М₀ , т.е. данная функция в точке М₀ имеет минимум.

 

4) Z=x³+y³

Имеем f `x=3x², f `(y)=3y².

f ``xx=6х, f `` yy=6y , f `` xy=0

3x²=0

3y²=0

М₀ (0,0)-точка возможного экстремума.

f ``xx(0,0)=0, f `` yy(0,0)=0 à ∆=0. В данном случае в точке М₀ (0,0) экстремума нет.

Z(0,0)=0

Z(х,0)=х³, откуда z>0 при х>0 и z<0 при х<0. Т.е. в любой окрестности точки М₀ данная функция имеет минимум как большие, так и меньшие Z (0,0)

 

Метод наименьших квадратов.

В различных исследованиях приходится использовать формулы, составленные на основании эксперимента.

Пусть на основании эксперимента необходимо установить функциональную зависимость между двумя переменными величинами x и y, например, между температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня. По результатам измерений составим таблицу:

x	X1	X2	…	Xi	…	Xn
y	Y1	Y2	…	Yi	…	Yn

Установим теперь вид функции y=f(x,y) по характеру расположения на координатной плоскости экспериментальных точек. Пусть например точки, взятые из таблицы расположены так, как показано на координатной плоскости.

В данном случае естественно предположить, что между x и y существует линейная зависимость, выражающаяся формулой

Y=ax+b