Комплексное представление вектора

Все графические методы расчета электрических цепей синусоидального тока не могут обеспечить высокой точности или очень сложны и трудоемки. Комплексный метод расчета, базирующийся на теории комплексных чисел, довольно прост и позволяет добиваться высокой точности. Любой вектор на плоскости изображается комплексным числом, соответствующим концу вектора.

 

, если вектор разложить на составляющие А₁ и А₂, причем «+» означает векторное сложение. Начало вектора находится в нулевой точке числовой плоскости Гаусса, на которой, как известно, каждой точке соответствует комплексное число.

 

Таким образом, составляющие вектора могут быть представлены через его проекции А₁ и А₂ на действительную и мнимую оси

; ;

Модуль вектора , определяющий его длину, выражают равенством

Угол, который этот вектор составляет с действительной осью, или аргумент вектора определяется равенством

При этом составляющие мнимую и действительную нужно подставлять в равенство своими знаками.

Отсчет углов производится от действительной оси в направлении, противоположном направлении вращения часовой стрелки.

Проекции А₁ и А₂ можно определить при известных модуле и его аргументе α.

; .

Вектор в полярной форме выразится равенством

Вспомним уравнение Эйлера , то получим

Выражение называется единичным вектором, так как модуль его равен единице.