Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана точка М₀(х₀;у₀;z₀) и плоскость Q со своим уравнением Ax+By+Cz+D=0

Расстояние d от точки М₀ до плоскости Q находится по формуле:

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки М₀ до прямой линии.

Расстояние d от точки М₀ до плоскости Q равно модулю проекции вектора М₁М₀, где М₁(х₁;у₁;z₁) – произвольная точка в плоскости Q на направлении нормального вектора n(A;B;C)

z

M₀ n

Q

 

0 M₁

y

x

 

Так как точка М₁(х₁;у₁;z₁) принадлежит плоскости Q, то Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D =0, то есть

D = -Ax₁ – By₁ – Cz₁

Отметим что если плоскость Q задана уравнением xcosα + ycosβ + zcosγ – p = 0, то расстояние от точки М₀ до плоскости Q может быть найдено по формуле:

d =│x₀cosα + y₀cosβ + z₀cosγ – p│