Уравнение плоской бегущей волны

Уравнением волны называется выражение, описывающее зависимость смещения колеблющейся частицы от координат и времени : . (1.9.2)

Пусть точки, расположенные в плоскости , совершают колебания по закону . Колебания частиц среды в точке (рис.6.2), расположенной на расстоянии от источника колебаний , будут происходить по тому же закону, но, будут отставать по времени от колебаний источника на (где - скорость распространения волны). Уравнение колебания этих частиц имеет вид: (1.9.3)

Рис.6.2

Так как точка была выбрана произвольно, то уравнение (1.9.3) позволяет определить смещение любой точки среды, вовлеченной в колебательный процесс, в любой момент времени, поэтому называется уравнением плоской бегущей волны. В общем случае оно имеет вид: (1.9.4) где – амплитуда волны; – фаза плоской волны; – циклическая частота волны; – начальная фаза колебаний.

Подставляя в уравнение (1.9.4) выражения для скорости () и циклической частоты (), получим: (1.9.5)

Если ввести волновое число , то уравнение плоской волны можно записать в виде: . (1.9.6)

Скорость в этих уравнениях представляет собой скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью. Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна . Для нахождения скорости ее перемещения разделим выражение для фазы на и продифференцируем по времени. Получим:

, откуда .