Моменты инерции сечения. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей

Рассмотрим следующие три интеграла (рис. 4.3).

Первые два интеграла называются осевыми моментами инерции сечения относительно осей , а третий — центробежным моментом инерции относительно осей .

Пусть заданы: .

Требуется найти .

Координаты площади в системе координат равны: . Вычислим моменты инерции относительно осей .

,

,

.

После интегрирования имеем:

,

,

.

Если оси — являются центральными, то и выражения принимают вид

(4.4)

(4.4) называют формулами перехода для моментов инерции от центральных осей к произвольным .

Из первых двух формул (4.4)следует, что в семействе параллельных осей минимальный момент инерции получается относительно центральной оси (при или ).

Поэтому легко установить, что при переходе от центральных осей к произвольным моменты инерции увеличиваются на и , а при переходе от произвольных к центральным эти величины нужно вычитать.

При определении центрального момента инерции следует учитывать знак и .

Пример: Найти моменты инерции прямоугольного относительно основания и относительно центральных осей (рис. 4.4).

 

Рис. 4.4

Момент инерции относительно оси

.

Воспользуемся формулами переноса (4.4)

.

По аналогии

.

Моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей необходимо помнить,

.