Стандартные законы распределения.

1. Биномиальное распределение.

Для дискретной случайной величины Х, представляющей собой число появлений события А в серии из п независимых испытаний (см. лекцию 6), М(Х) можно найти, используя свойство 4 математического ожидания. Пусть Х₁ – число появлений А в первом испытании, Х₂ – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Х_i задается рядом распределения вида

Xi
pi	q	p

Следовательно, М(Х_i) = p. Тогда

Аналогичным образом вычислим дисперсию: D(X_i) = 0²·q + 1²·p – p²= p – p² = p(1 – p), откуда по свойству 4 дисперсии

2. Закон Пуассона.

Если р(Х = т) = , то М(Х) = (использо-валось разложение в ряд Тейлора функции е^х).

Для определения дисперсии найдем вначале М(Х²) =

=

Поэтому D(X) = a² + a – a² = a.

Замечание. Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона: математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру а, определяющему распределение).

3. Равномерное распределение.

Для равномерно распределенной на отрезке [a, b] непрерывной случайной величины то есть математическое ожидание равномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка [a, b] .

Дисперсия

.

4. Нормальное распределение.

Для вычисления математического ожидания нормально распределенной случайной величины воспользуемся тем, что интеграл Пуассона .

( первое слагаемое равно 0, так как подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричны относительно нуля).

.

Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответствен-но математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению иссле-дуемой случайной величины.