Апериодическое (инерционное) звено первого порядка

Звено имеет неколебательный (апериодический) характер переходного процесса и описывается дифференциальным уравнением первого порядка вида

, (3.6)

где k – коэффициент передачи, характеризующий свойства в статическом режиме; Т – постоянная времени, характеризующая инерционность звена.

Решение уравнения (3.6) при нулевых начальных условиях (;) имеет вид

. (3.7)

При однократном ступенчатом воздействии х_вх(t)=const получим динамическую характеристику звена в виде кривой разгона (разгонной характеристики). Простейший анализ уравнения (3.7) показывает что при t=0 имеем , а при t ® ¥ выходная величина х_вых(¥)=kх_вх(¥) , изменяясь по экспоненте, устанавливается на новом значении (рис. 3.3).

 

Рис. 3.3. Кривая разгона апериодического звена первого порядка

 

Из анализа уравнения (3.7) следуют свойства экспоненты, широко используемые на практике:

1) проекция на ось времени отрезка касательной, заключенного между точкой касания и линией установившегося значения параметра х_вых(¥), есть величина постоянная для данной экспоненты и равная постоянной времени Т (рис. 3.3);

2) касательная, проведенная к кривой разгона в начальной точке t=0 (при t₀=0), отсекает на горизонтальной прямой х_вых(¥)=const отрезок АВ, численно равный постоянной времени Т. Значение выходного параметра в конце отсчета постоянной времени (по линии проекции точки В на ось времени) равно х_вых(t)=0,632х_вых(¥) – рис.3.3;

3) если отложить последовательно друг за другом три постоянных времени Т (t = 3Т), то значение выходного параметра при t = 3Т составит х_вых(t)=0,95х_вых(¥), т.е. можно считать, что переходный процесс практически закончился (рис. 3.3).

Передаточная функция звена получается из записи уравнения в операторной форме:

;

. (3.8)

Частотные характеристики звена получаются из представления частотной передаточной функции звена в виде комплексного числа при замене в (3.8) р значением jw:

. (3.9)

Умножая числитель и знаменатель функции (3.9) на выражение, сопряженное со знаменателем, можно избавиться от величины j в знаменателе и представить амплитудно-фазовую характеристику в виде суммы действительной и мнимой частей:

. (3.10)

Амплитудно-частотная характеристика звена равна

. (3.11)

При изменении частоты w от 0 до ¥ амплитудно-частотная характеристика изменяется от k (при w=0) до 0 (при w=¥), что показано на рис 3.4.

Рис. 3.4. Амплитудно-частотная характеристика апериодического звена первого порядка

Из рис 3.4 следует: гармонические сигналы малой частоты пропускаются звеном хорошо (отношение амплитуд выходных и входных колебаний близко к передаточному коэффициенту k). Сигналы большой частоты плохо пропускаются звеном: отношение амплитуд существенно меньше коэффициента передачи k.

Таким образом, апериодическое (инерционное) звено первого порядка по своим частотным свойствам является фильтром низких частот. Чем больше постоянная времени Т, тем больше инерционность звена и тем уже полоса пропускания.

Фазочастотная характеристика звена равна

, (3.12)

т.е. происходит отставание по фазе выходной величины по отношению к входной.

Рис. 3.5 Фазочастотная характеристика апериодического звена первого порядка

При изменении частоты от 0 до ¥ (рис. 3.5) отставание по фазе происходит от j(0)=arctg0=0 до j(¥)= – arctg¥= –p/2.

Примерами апериодических звеньев первого порядка могут быть: бак с водой, входной величиной которого является приток жидкости х_вх=Q₁, а выходной – уровень жидкости х_вых=Н (рис. 3.6,а); емкость для сглаживания давления воздуха, входной величиной которой является приток воздуха х_вх=Q₁, а выходной – изменение давления Р₂ в емкости х_вых=Р₂ (рис. 3.6,б); электрическая цепь, содержащая сопротивление R и конденсатор с электрической емкостью С, входной величиной которой является напряжение, приложенное к точкам 1 – 2, а выходной – напряжение, снимаемое с точек 3 – 4 (рис. 3.6,в).

а	б	в
Рис. 3.6. Примеры апериодических звеньев первого порядка

 

Инерционными звеньями первого порядка являются конструктивные элементы, которые могут накапливать и передавать энергию или вещество. В гидравлических элементах накопителем вещества является объем бака, в пневматических – емкость (объем) резервуара; в электрических – накопителем электрического тока служит емкость конденсатора.