Определение позиционной игры

Позиционной игрой будем называть конечную игру п игроков состоящую из:

1. Дерева Т (понятие дерева игры было дано в 3.2 этой главы).

2. п действительных функций , определенных в каждой из вершин дерева Т таким образом, что если — вершина, то есть сумма, которая должна быть уплачена игроку , если партия заканчивается в точке .

3. Набора чисел, таких, что каждой точке разветвления дерева Т ставится в соответствие число, указывающее, какой игрок делает очередной ход в рассматриваемой точке (число 0 означает, что в этой точке применяется случайный ход).

4. Сопоставления каждой точке разветвления Т дерева, соответствующей случайному ходу, элемента множества где к — число альтернатив (выборов) в точке т. . число прямых, выходящих из точки полный набор вероятностей применения альтернатив.

5. Разбивки точек разветвления на непересекающиеся и полные множества (информационные множества), удовлетворяющие следующим условиям:

а) все точки разветвления, принадлежащие данному информационному множеству, относятся, согласно пункту 3, к одному игроку;

б) все точки разветвления, принадлежащие одному информационному множеству, имеют одинаковое число альтернатив, которые мы будем нумеровать справа налево;

в) если (см, пункт 3) точке разветвления поставлено в соответствие число 0, то информационное множество, в котором находится состоит из одной точки;

г) если S — партия игры, т. е. ломаная линия, идущая от основания дерева к одной из его вершин, и если А — любое информационное множество, то существует не больше одной точки разветвления, принадлежащей обоим множествам S и A,

Понятие стратегии также нуждается в уточнении в связи с уточнением понятия позиционной игры. Стратегией игрока называется функция, определенная для каждого информационного множества, соответствующего игроку , значение которой для каждого такого информационного множества представляет одну из альтернатив, имеющихся у .