Энергетические распределения эмитированных электронов

Исследуем NED-распределение

. (5.1)

Качественный анализ функции N(e_х) показывает следующее (см. рис. 5.1) При Т®0 энергия эмитированных электронов в основном меньше e_F, максимум N() находится вблизи e_F и энергетический разброс определяется коэффициентом прозрачности D (рис. 5.1, а). При Е ® 0 энергия эмитированных электронов в основном больше e_m, максимум N() находится вблизи e_m, ширину распределения определяет функция (рис. 5.1, б). При конечных Е и Т максимум распределения по нормальным энергиям расположен между e_F и e_m (см. рис. 5.1, в). При увеличении Е прозрачность барьера растет и распределение сдвигается в сторону меньших энергий, с ростом Т  в сторону больших энергий.

Рис. 5.1

Исследуем далее функцию N() аналитически. При произвольных значениях напряженности электрического поля Е и температуры исследовать функцию N() трудно, поскольку она имеет сложное математическое выражение из-за коэффициента прозрачности D(, Е) (см. формулу (3.12). Поэтому прибегают к двум основным приближениям, которые представляют интерес с точки зрения физики и легко реализуются на практике.

1. Низкие температуры и высокие электрические поля (ЕТ эмиссия). Количественный критерий этого приближения будет дан ниже. Как уже указывалось, максимум N() лежит вблизи e_F, поэтому показатель экспоненты (3.12) можно разложить около e_F в ряд Тейлора и ограничиться линейным слагаемым. Результат получается следующий:

. (5.2)

При записи (5.2) учтено определение работы выхода (2.8). Характеристическую температуру

(5.3)

называют температурой инверсии. Целесообразность введения этой величины и ее физический смысл станет понятен при вычислении плотности потока энергии через границу эмиссии, а пока отметим, что температура Т₁ линейно растет с напряженностью электрического поля Е и определяет ширину энергораспределения при низких температурах. Поскольку при низких температурах и высоких полях имеет место в основном подбарьерный выход электронов с катода, показатель экспоненты в формуле (5.2) для D достаточно велик

(5.4)

и справедливо ВКБ-приближение (3.3). С учетом этого распределение по нормальным энергиям запишется в виде

. (5.5)

Из условия dN/d= 0 находим уравнение для

. (5.6)

В силу всего сказанного выше естественно предполагать, что < e_F, Т < Т₁ и

. (5.7)

Пренебрегая в (5.6) единицей по сравнению с экспонентой, получаем

= e_F  2kT. (5.8)

При подстановке результата (5.8) в условия (5.4) и (5.7) видно, что они выполняются. Максимальное значение N() следующее

. (5.9)

Для практических целей функцию N() удобно отнормировать так, чтобы при она имела значение равное единице.

(5.10)

Одной из экспериментально измеряемых характеристик является энергетическая ширина кривой N'() на полувысоте, т.е.

(5.11)

Решение уравнения (5.11) относительно даст правое и левое значения корней и энергетическую ширину (см. рис. 5.2). Трансцендентное уравнение (5.11) в общем случае необходимо решать численно.

Рис. 5.2

2. Высокие температуры и слабые электрические поля (ТЕ эмиссия). В этом случае максимум N(e_х) лежит вблизи e_m и разложение, аналогичное (5.2) имеет вид

. (5.12)

Для потенциала сил изображения: , q(1) = 0, a' = 0,

. (5.13)

Вторая характеристическая температура

(5.14)

не имеет явно выраженного физического смысла и специального названия, как температура инверсии Т₁, и служит в основном для удобства записи формул. Поскольку эмиссия происходит в энергетическом интервале, прилегающем к e_m, то в предположении e_m  e_F ? kT можно записать

. (5.15)

Подставляя (5.12)(5.15) в (5.1), получаем

. (5.16)

Условие dN/de_x = 0 приводит к уравнению

. (5.17)

Решение этого уравнения дает

(5.18)

и

, (5.19)

где

. (5.20)

Отнормированное энергораспределение в данном случае

. (5.21)

Аналогично (5.11), приравнивание выражения (5.21) 0,5 (??) дает возможность определить энергетическую ширину на полувысоте.

Исследуем далее TED-распределение

. (5.22)

1. ЕТ эмиссия

Использование разложения (5.2) и условия (5.4) позволяет записать

(5.23)

и

. (5.24)

Условие dT/de = 0 дает уравнение

, (5.25)

решение которого позволяет найти

(5.26)

Подстановка (5.26) в (5.24) приводит к формулам

(5.27)

и

, (5.28)

где

. (5.29)

Энергетическая ширина ищется из уравнения

T'(e) = 1/2. (5.30)

2. ТЕ эмиссия

Используя разложение (5.12), можно записать

(5.31)

и

, (5.32)

в предположении, что

. (5.33)

Подставляя (5.32) в (5.22) и используя приближение, аналогичное (5.15), получаем

. (5.34)

Условие максимума T(e) приводит к уравнению

. (5.35)

В данном случае естественно предположить, что

, (5.36)

т.к. электроны несут энергию, соответствующую поперечным по отношению к направлению эмиссии степеням свободы (e  полная энергия). Тогда из (5.35) получаем

, (5.37)

, (5.38)

. (5.39)

Приравнивание (5.38) (??) 0,5 определяет энергетическую ширину TED при высоких температурах и слабых электрических полях.