Использование для аппроксимации производных многочлена Лагранжа

Запишем полином с равномерным расположением узлов , и его остаточный член для случая 3-х узлов интерполяции (степень полинома n=2) и найдем их первые производные:

;

.

Для при имеем:

.

Аналогичные соотношения можно получить для , при соответственно:

, .

Таким образом, для 3-х узлов имеем 2-го порядка точность аппроксимации производных.

Для полинома Лагранжа и его остаточного члена в случае 4-х узлов (степень ) получим:

Таким образом, используя значения функции в узлах, получаем аппроксимацию производных -го порядка точности. Можно показать, что при четных для производных в средних (центральных) узлах (при , при и т.д) получаются наиболее простые выражения и наименьшие коэффициенты в остаточных членах. Аппроксимации производных для узла с произвольным номером , считая его центральным, имеют вид:

при ;

при .

Они называются аппроксимациями производных с помощью центральных разностей и широко используются на практике!!!

С помощью интерполяционного полинома Лагранжа можно получить аппроксимации для старших производных. Например, аппроксимации вторых производных для 3-ёх узлов интерполяции имеют вид :

;

;

.

При этом аппроксимации вторых производных с помощью центральных разностей также наиболее выгодны.