Основные понятия

 

Бесконечные ряды широко используются в теоретических исследованиях математического анализа, имеют разнообразные практические применения.

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

(1)

где – действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, а – общим членом ряда.

Ряд (1) считается заданным, если известен общий член ряда , выраженный как функция его номера

Сумма первых n членов ряда (1) называется n-ой частичной суммой ряда и обозначается через , т. е. .

Рассмотрим частичные суммы

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают .

Если не существует или , то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Рассмотрим примеры:

1. Ряд нельзя считать заданным, а ряд 2 + 5 + 8 +… – можно: его общий член задается формулой

2. Ряд 0 + 0 + 0 + … + 0 + … сходится, его сумма равна 0.

3. Ряд 1 + 1 + 1 + … + 1 + … расходится,

4. Ряд 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … расходится, так как последовательность частичных сумм 1, 0, 1, 0, 1, 0… не имеет предела.

5. Ряд сходится. Действительно,

Следовательно,

=

т. е. ряд сходится, его сумма равна 1.

Рассмотри некоторые важные свойства рядов.

Свойство 1. Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд

(2)

где с – произвольное число, также сходится и его сумма равна . Если же ряд (1) расходится и, то и ряд (2) расходится.

Обозначим n-ю частичную сумму ряда (2) через . Тогда

.

Следовательно,

т. е. ряд (2) сходится и имеет сумму сS.

Покажем теперь, что если ряд (1) расходится, , то и ряд (2) расходится. Допустим противное: ряд (2) сходится и имеет сумму S₁. Тогда

.

Отсюда получаем:

т. е. ряд (1) сходится, что противоречит условию о расходимости ряда (1).

Свойство 2. Если сходится ряд (1) и сходится ряд

, (3)

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

(4)

причем сумма каждого равна соответственно .

Обозначим n-е частичные суммы рядов (1), (3) и (4) через , и соответственно. Тогда

 

т. е. каждый из рядов (4) сходится, и сумма его равна соответственно.

Из свойства 1 вытекает, что сумма (разность) сходящегося и расходящегося рядов есть расходящийся ряд.

В справедливости этого утверждения можно убедиться методом от противного.

Заметим, что сумма (разность) двух расходящихся рядов может быть как сходящимся, так и расходящимся рядом.

Свойство 3. Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.

Обозначим через S сумму отброшенных членов, через k – наибольший из номеров этих членов. Чтобы не менять нумерацию оставшихся членов ряда (1), будем считать, что на месте отброшенных членов поставили нули. Тогда при будет выполняться равенство где – это n – я частичная сумма ряда, полученного из ряда (1) путем отбрасывания конечного числа членов. Поэтому . Отсюда следует, что пределы в левой и правой частях одновременно существуют или не существуют, т. е. ряд (1) сходится (расходится) тогда и только тогда, когда сходятся (расходятся) ряды без конечного числа его членов.

Аналогично рассуждаем в случае приписывания к ряду конечного числа членов.

Ряд

(5)

 

называется n-м остатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием n первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов. Поэтому, согласно свойству 3, ряд (1) и его остаток (5) одновременно сходятся или расходятся.

Из свойства 3 также следует, что если ряд (1) сходится, то его остаток

стремится к нулю при , т. е.