Плотность газожидкостной смеси
Через данное сечение трубы при движении по ней ГЖС проходит некоторое количество газа и жидкости. Можно представить, что все газовые пузырьки занимают в сечении трубы суммарную площадь fг, а жидкость - остающуюся площадь в том же сечении fж, так что
,
где f - площадь сечения трубы (рис. 7.8). Плотность ГЖС в таком случае определится как средневзвешенная
, (7.18)
где ρж и ρг - плотность жидкости и газа при термодинамических условиях сечения.
Обычно fг / f обозначают через φ. Тогда fж / f = 1 - φ,
. (7.19)
Величина φ = fг / f называется истинным газосодержанием потока.
Обозначим V - объемный расход газа через данное сечение; q - объемный расход жидкости через то же сечение; Сг - линейная скорость движения газа относительно стенки трубы; Сж - линейная скорость движения жидкости относительно стенки трубы.
Тогда можно записать следующие соотношения:
. (7.20)
и
. (7.21)
Подставляя (7.20) и (7.21) в (7.18) и делая некоторые сокращения, получим
, (7.22)
В восходящем потоке газ движется быстрее жидкости, так как на него действует архимедова сила выталкивания. Обозначим
Рис. 7.8. Среднестатистические площади в трубе, занятые газом и жидкостью
, (7.23)
. (7.24)
Разделив числитель и знаменатель в (7.22) на q и вводя новые обозначения согласно (7.23) и (7.24), получим
, (7.25)
где r - газовый фактор, приведенный к термодинамическим условиям рассматриваемого сечения.
При Сг = Сж b = 1 и из (7.25) следует
. (7.26)
Этот случай соответствует идеальным условиям, при которых образуется идеальная смесь плотностью ρи. Относительная скорость газа (по отношению к жидкости)
, (7.27)
или
. (7.28)
Подставляя (7.28) в (7.23), получим
, (7.29)
Поскольку а > 0, то b > 1. Увеличение скорости газа при неизменном объемном расходе V уменьшает fг, следовательно, увеличивает fж. В результате плотность смеси, как это следует из (7.18) и (7.19), увеличивается. Таким образом, явление скольжения газа (a > 0) при неизменных объемных расходах q и V приводит к утяжелению смеси по сравнению с идеальным случаем. Поэтому чем больше а, тем больше потребуется давление на забое для поднятия данного количества жидкости.
Плотность реальной смеси
, (7.30)
где Δρ - увеличение плотности смеси, обусловленное скольжением. Для определения Δρ к (7.25) прибавим и отнимем ρи согласно (7.26), получим
Группируя слагаемые и делая некоторые преобразования, имеем
или после приведения к общему знаменателю в квадратных скобках и группировки слагаемых найдем
. (7.31)
Из сопоставления (7.31), (7.30) и (7.26) следует
. (7.32)
При b = 1 (отсутствие скольжения газа Сг = Сж) числитель в (7.32) обращается в нуль и Δρ = 0. Утяжеление ГЖС не происходит. С увеличением b (b > 1) Δρ монотонно увеличивается (рис. 7.9). Заштрихованная часть графика показывает увеличение плотности ГЖС за счет скольжения газа.
Из формулы (7.29) видно, что при одной и той же относительной скорости газа (a = const) b уменьшается при увеличении Сж, т. е. расхода жидкости. Отсюда следует важный для практики вывод - переход на трубы малого диаметра при определенных условиях за счет увеличения Сж уменьшит величину b, а это в свою очередь повлечет уменьшение Δρ.
Pиc. 7.9. Изменение плотности ГЖС в результате скольжения газа
Поэтому подъем ГЖС может быть осуществлен при меньшем давлении в нижней части трубы (при меньшем забойном давлении). Однако целесообразность перехода на трубы меньшего диаметра должна быть проверена расчетом, так как при этом возрастут потери давления на трение.
В теории движения ГЖС существуют важные понятия, через которые определяется плотность смеси. Это расходное газосодержание β и истинное газосодержание φ. Расходное газосодержание потока ГЖС определяется как отношение объемного расхода газа V к общему расходу смеси V+q:
. (7.33)
Истинное газосодержание потока ГЖС учитывает скольжение газа и поэтому является отношением площади, занятой газом fг, ко всему сечению трубы f:
. (7.34)
Тогда
. (7.35)
Из сопоставления (7.35) и (7.25) следует
. (7.36)
. (7.37)
Разделив в (7.33) числитель и знаменатель на q и используя обозначение (7.24), получим
. (7.38)
Отнимая в (7.38) по единице и меняя знак, получим
. (7.39)
или
. (7.39)
Сопоставляя (7.39), (7.38) и (7.26), видим, что
. (7.40)
Рис. 7. 10. Зависимость φ от β при отсутствии скольжения газа
(β = φ, линия 1) и при скольжении ( φ < β, линия 2)
Таким образом, плотность идеальной смеси (7.40) определяется расходным газосодержанием β, а плотность реальной смеси (7.35) - истинным φ.
Найдем формулы связи между φ, β, b и r. Из (7.37) и (7.38) имеем
,
откуда
. (7.41)
Решая (7.38) относительно г, найдем
. (7.42)
Подставляя (7.42) в (7.41), получим
.
Откуда после преобразований
. (7.43)
Решая (7.43) относительно b, получим
. (7.44)
При движении ГЖС возможны два предельных случая, когда по трубе движется одна жидкость fг = 0, следовательно, φ также равно нулю, и когда по трубе движется один газ fж = 0. Аналогично и для расходного газосодержания β. Поэтому физически возможными пределами изменениями φ и β будут 0 < φ <1, 0< β < 1. При отсутствии скольжения газа относительная его скорость равна нулю (а = 0), следовательно, Сг = Сж, b = 1 и из формулы (7.43) φ = β.
Таким образом, φ(β) для идеального подъемника будет являться прямой в виде диагонали квадрата линия 1 (рис.7.10).
Во всех других случаях при b > 1 , т. е. при а > 0 (Сг > Сж), получим φ = β .
На диаграмме φ(β) линия 2 проходит ниже диагонали. Чем больше скольжение, т. е. чем больше а, а следовательно, и b, тем ниже пройдет линия φ(β).
Относительная скорость газа а зависит от следующих факторов: дисперсности газовых пузырьков, а следовательно, структуры движения ГЖС; вязкости жидкой фазы; разности плотностей газа и жидкости, от которой зависит подъемная сила; диаметра трубы и газонасыщенности потока ГЖС.
Попытки теоретического определения величины а не дают надежных результатов. Поэтому оценка относительной скорости газа проводится главным образом экспериментально и составляет основной предмет исследований. По некоторым рекомендациям предлагается принять φ = 0,833·β во всем диапазоне значений β представляющем практический интерес. Величина β всегда известна, так как расходами V и q либо задаются, либо вычисляют для заданных термодинамических условий.