Косвенное измерение

При косвенных измерениях искомое значение величины А находят расчетом на основе прямых изме­рений величин а& связанных с измеряемой величиной известной зависимостью:

А = / (a_t, a₂, ... ai, ... а_т) (24)

Результатом косвенного измерения является оценка величины А, которую находят подстановкой в формулу (1.24) оценок аргументов аi. Поскольку каждый из аргумен­тов аi измеряется с некоторой погрешностью, то зада­ча оценивания погрешности результата сводится к суммированию погрешностей измерения аргументов. Вклад отдельных погрешностей измерения аргументов в погрешность результата зависит от вида функции (24).

С точки зрения оценки погрешностей косвенные измерения делят на линейные и нелинейные. При линейных косвенных измерениях уравнение измере­ний имеет вид:

где bi- — постоянные коэффициенты при аргумен­тах ai-. Любые -другие виды функциональной зависи­мости (24) относят к нелинейным косвенным измере­ниям.

Погрешности измерения аргументов могут быть за­даны либо своими границами Да,-, либо доверительны­ми границами Dа_i- (Рдi) с доверительными вероятнос­тями Рдi.

Простейшая оценка погрешности результата DА получается суммированием предельных погрешностей, т. е. подстановкой границ D а₁, D а₂, ... Dа_m в выраже­ние:

Такая оценка завышена, так как предполагает, что погрешности аргументов одновременно максимальны по модулю и имеют один знак. Более корректно стати­стическое оценивание:

(25)

Если погрешности измерения аргументов заданы доверительными границами с одинаковыми довери­тельными вероятностями Рд, то при нормальном рас­пределении этих погрешностей доверительные грани­цы результата находят по формуле:

(26)

Нелинейные косвенные измерения характерны тем, что результаты измерений аргументов подвергаются функциональным преобразованиям.

Поэтому при нелинейных косвенных измерени­ях отказываются от интервальных оценок погрешно­сти результата, ограничиваясь приближенной оцен­кой ее границ, В основе приближенного оценивания погрешности нелинейных косвенных измерений ле­жит линеаризация функции (24), и дальнейшая об­работка проводится как при линейных косвенных из­мерениях.

Из выражения для полного дифференциала функ­ции А, заменяя дифференциалы на погрешности, по­лучаем:

(27)

Для случая равномерного распределения погреш­ностей аргументов при числе слагаемых т < 5 грани­цы погрешностей определяют по формуле (25). Если погрешности аргументов заданы их доверительными границами, оценку погрешности результата измере­ния выполняют по (26). При этом роль коэффициентов b₁, b₂, …, b_m выполняют частные производные: b_t =дА/да,.

Для наиболее часто встречающихся функциональ­ных зависимостей формула (27) дает простые правила оценивания абсолютной DА или относительной бА по­грешностей косвенного измерения:

1. Погрешности в суммах и разностях (А = а1 ± a2)', суммируются абсолютные погрешности DА = Dа1 + Dа2.

2. Погрешности в произведениях и частных (А = a1х a2 или А = a1 / a2); суммируются относительные погрешности, dA = da1 + dа2, где dаi = Dаi/ аi.

3. Измеряемая величина умножается на точное число (А = В х а); относительная погрешность — dА = \В\xdа

4. Измеряемая величина возводится в степень (А = а^п). Относительная погрешность dА = n х dа.

5. Погрешность в произвольной функции одной переменной (А = f(a)); относительная погрешность