Прямой метод исследования устойчивости А.М.Ляпунова

Впервые общая теория устойчивости нелинейных систем была предложена в 1892 г. А.М.Ляпуновым. Он показал, что для некоторого класса нелинейных задач исследования устойчивости может быть использован прямой метод, который сводится к построению функции Ляпунова, связанной с дифференциальным уравнением системы

, (10.8)

записанным в отклонениях. Здесь функции Х₁, Х₂,….Х_n произвольны и содержат любого вида нелинейности, но всегда удовлетворяют условию Х₁ = Х₂ =….= Х_n = 0 при х₁ = х₂ =….= х_n =0, так как в установившемся режиме все отклонения и их производные должны быть равны нулю.

Функцией Ляпунова называется любая функция

V = V(x₁,x₂,….,x_n) (10.9)

тождественно обращающаяся в нуль при х₁ = х₂ =….= х_n = 0, если в ней взяты те же переменные, что и в уравнении (10.8).

Производная от функции Ляпунова (10.9) по времени имеет вид:

.

Подставив сюда производные из уравнения (10.8) получим

, (10.10)

где Х₁, Х₂, ….. Х_n – функции переменных x₁,x₂,….,x_n. Следовательно, выражение (10.10) можно записать в виде

(10.11)

Функция W, так же как и функция V, обращается в нуль при х₁ = х₂ =….= х_n = 0. Функция Ляпунова должна быть знакоопределенной в некоторой области, т.е. во всех точках этой области вокруг начала координат сохранять один и тот же знак и нигде не обращаться в нуль, кроме начала координат.

Теорема об устойчивости нелинейных систем формулируется следующим образом: если при заданных в форме (10.8) уравнениях системы n – го порядка подобрать такую знакоопределенную функцию Ляпунова V = V(x₁,x₂,….,x_n), чтобы ее производная по времени тоже была знакоопределенной (или знакопостоянной), но имела знак, противоположный знаку V, то данная система устойчива асимптотически (или не асимптотически).

Под знакопостоянной понимают такую функцию, которая сохраняет один и тот же знак, но может обращаться в нуль не только в начале координат, но и в других точках данной области.

Следует отметить, что не существует единого способа формирования функции Ляпунова для анализа конкретных систем автоматического регулирования. Наибольшее распространение для анализа устойчивости систем находят функции Ляпунова в виде квадратичных форм.