Теплопроводность

При теплопроводности тепловая энергия передается за счет движения и взаимодействия молекул. Интенсивность переноса тепла определяется температурным напором и свойствами тела. Процесс теплопроводности описывается законом Фурье

(2.2)

где l – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом теплопроводности, Вт/(м×К); dF – площадь, нормальная тепловому потоку, м²; dt – время, с; dt – перепад температур, °С; dn –расстояние между изотермами по нормали, м.

Коэффициент теплопроводности (обычно его называют просто теплопроводностью) является теплофизической константой материала, определяется его природой и зависит от температуры и, в некоторой степени, от давления. Он численно равен количеству тепла, проходящему в теле через площадку в один квадратный метр за одну секунду на расстояние в один метр при перепаде температур в один градус. Наибольшие значения теплопроводности у меди l=450 Вт/(м×К), затем идут металлы, строительные материалы и неметаллы, жидкости, теплоизоляционные материалы. Самые низкие значения, порядка 0,02 Вт/(м×К), характерны для газов. С увеличением температуры теплопроводность обычно снижается. Зависимостью теплопроводности от давления, как правило, пренебрегают. Формулы для приближенного расчета теплопроводности различных веществ приведены в разделе 1 части первой данной книги.

Предел отношения разности температур к расстоянию между изотермами по нормали, представляющий собой производную температуры по нормали, называют температурным градиентом. Так же как и тепловой поток, температурный градиент является векторной величиной с направлением, противоположным тепловому потоку. Знак минус в уравнении Фурье учитывает противоположность направлений векторов теплового потока и температурного градиента.

Процесс нестационарной теплопроводности описывается дифференциальным уравнением теплопроводности, полученным из теплового баланса элементарного параллелепипеда с ребрами dx, dy и dz при условии независимости свойств вещества от координат и температуры. Тепло расходуется на изменение средней температуры вещества во времени ¶t/¶t. Расход тепла dQ определим как произведение массы dm=rdV=rdxdydz, теплоемкости с, времени dt и изменения температуры во времени ¶t/¶t: crdVdt¶t/¶t. Приход тепла складывается из тепла за счет теплопроводности через грани параллелепипеда с площадями dFz=dx dy, dFy=dx dz и dFx=dz dy и внутренних источников тепла qVdV dt. Тепло, поступающее за счет теплопроводности, определим по уравнению Фурье, в котором градиент температуры dt/dn представим как произведение частной производной на дифференциал аргумента. Теплопроводный поток составит: для оси z – dF_z dt ¶(¶t/¶z)/¶z, для оси у – dF_y dt ¶(¶t/¶y)/¶y и оси x – dF_x dt ¶(¶t/¶z)/¶z. Приравняв приход тепла расходу, после несложных преобразований получим дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности с внутренними источниками тепла

, или , (2.3)

где а=l/(rс) – коэффициент температуропроводности (или просто температуропроводность), м²/с; q_V – интенсивность внутренних источников (стоков) тепла, Вт/м³; r – плотность, кг/м³; с – теплоемкость, Дж/(кг×К); Ѳt=¶²t/¶x²+¶²t/¶у²+¶²t/¶z² – оператор Лапласа по температуре.

Решение дифференциального уравнения возможно только при использовании условий однозначности, т.е. в общем виде невозможно.

Для стационарных условий (¶t/¶t=0) и одномерного температурного поля (неограниченная пластина с тепловым потоком, направленным по нормали к поверхности ¶t/¶у=0 и ¶t/¶z=0) при отсутствии внутренних источников (qV=0) уравнение (2.3) примет вид d2t/dx2=0.

Интегрирование последнего уравнения приводит к выражениям dt/dx=C₁ и t=C₁x+C₂. Как видно из последних выражений, температура по толщине неограниченной пластины изменяется по линейной зависимости. Константы интегрирования С₁ и С₂ определим подстановкой граничных условий. При х=0 температура на поверхности равна t_cт¹. На противоположной поверхности при х=d температура равна t_cт². После подстановки получаем C₁=(t_cт²-t_cт¹)/d и C₂=0. Подставляя значение производной dt/dx=(t_cт²-t_cт¹)/d в уравнение Фурье (2.2), получим уравнение теплопроводности плоской неограниченной пластины тепла для стационарных условий

q=Q/(Ft)=Ñtl/d=Ñt/R, (2.4)

где Ñt=t_ст¹-t_ст² – температурный напор теплопроводности, °С; t_ст¹,t_ст² – температуры наружных поверхностей стенки, °С; d – толщина стенки, м; t – время, с; R=l/d – термическое сопротивление плоской стенки, м²×К/Вт.

Для расчета многослойных плоских стенок используют уравнение (2.4), но термическое сопротивление определяется как сумма сопротивлений слоев

R=ål_i/ d_i . (2.5)

Как уже отмечалось, температура в плоской стенке изменяется по линейной зависимости (прямая 2 на рис.2.1,а), что справедливо при отсутствии зависимости теплопроводности от температуры и координат. Для возрастающей зависимости теплопроводности от температуры распределение температур будет криволинейным с более пологой частью в области высоких температур (кривая 1 на рис.2.1,а). Для большинства веществ с ростом температуры теплопроводность снижается, и для реальных тел кривая распределения температур выполаживается в области низких температур (кривая 3 на рис.2.1,а).

Для цилиндрических стенок распределение температур подчиняется логарифмической зависимости и расчетное уравнение, получаемое интегрированием закона Фурье, для бесконечной цилиндрической стенки имеет вид

Q= и q_L=, (2.6)

где L – длина стенки, м; R_L=– линейное термическое сопротивление, м×К/Вт.

Для многослойной цилиндрической стенки линейное термическое сопротивление определяется суммированием линейных термических сопротивлений слоев

R_L=å. (2.7)

Для снижения потерь тепла трубопроводами в окружающую среду их покрывают слоем теплоизоляции. В этом случае тепло от горячего теплоносителя Q₁=a₁(t₁-t_ст)F₁ конвекцией отдаётся стенке трубопровода, затем путем теплопроводности многослойной стенки (труба+изоляция) проходит к наружной поверхности Q_ст=pL(t_ст1–
–t_из)/[ln(d_в/d_н)/(2l_cт)+ln(d_н/d_из)/(2l_из)] и от нее конвективным путем отдается в окружающую среду Q₂=a₂(t_из-t₂)F₂. При стационарных условиях все три тепловых потока одинаковы, т.е. Q₁=Q_cт=Q₂=Q. Выделим из выражений тепловых потоков разности температур, проведем сложение правых и левых частей равенств. Учитывая, что F₁=p×d_в×L, F₂=pd_изL и Q₁=Q_cт=Q₂=Q, получим

Q=pL(t₁-t₂)/[1/(a₁d_в)+ln(d_в/d_н)/(2l_cт)+ln(d_н/d_из)/(2l_из)+1/(a₂d_из)], (2.8)

где a₁ и a₂ – коэффициенты теплоотдачи, Вт/(м²×К).

Почти во всех реальных случаях первые два слагаемых знаменателя 1/(a₁d_в) и ln(d_в/d_н)/(2l_cт) пренебрежительно малы. Тогда q_L=Q/L=p(t₁–t₂)/[ln(d_н/d_из)/(2l_из)+1/(a₂d_из)]. С увеличением диаметра изоляции d_из первый член суммы в знаменателе растет, а второй – уменьшается. Следовательно, зависимость q_L=f(d_из) при d(q_L)/d(d_из)=0 будет иметь минимальную точку. После дифференцирования и приравнивания производной нулю, получим выражение для критического значения диаметра изоляции, соответствующего максимуму передаваемого тепла:

d_кр=2l_из/a₂. (2.9)

Если диаметр трубопровода будет превышать критический диаметр, то использование теплоизоляции однозначно будет снижать тепловые потери. В противном случае, т.е. при d_н<d_кр, использование теплоизоляции с толщиной до (d_кр-d_н)/2 тепловые потери будет увеличивать, а при дальнейшем увеличении толщины теплоизоляции теплопотери будут вновь снижаться.

Коэффициент теплоотдачи к воздуху »10 Вт/(м²×К), теплопроводность многих теплоизоляционных материалов »0,1 Вт/(м×К). Для этих условий d_кр=2×0,1/10=0,02 м=20 мм, и для теплоизоляции труб с диаметром порядка 20 мм использование материалов с коэффициентом теплопроводности около 0,1 Вт/(м×К) будет неэффективным. Для этих целей необходимо использовать материалы с меньшей теплопроводностью, например, стекловату с теплопроводностью 0,05¼0,08 Вт/(м×К).

В ряде случаев теплообменные поверхности промышленных аппаратов увеличивают использованием оребрения. Рассмотрим стационарную теплопроводность стержня длиной L, находящегося в среде с постоянной температурой и заделанного одним концом в стенку с постоянной температурой (рис.2.2). Будем полагать, что стержень имеет достаточно большую длину и его температура на конце равна температуре окружающей среды. Тепло от горячей стенки будет распространяться по стержню за счет его теплопроводности. В процессе прохождения тепла по стержню часть его будет отводиться в окружающую среду за счет конвекции. В соответствии с этим средняя температура стержня будет изменяться от максимальной в месте его заделки до минимальной и равной окружающей среде на достаточно большом удалении от стенки. Рассмотрим тепловой баланс элементарного слоя стержня толщиной dx на расстоянии х от места заделки стержня. Обозначим периметр стержня П и его сечение S. Тогда поверхность выделенного объема определится по формуле dF=П dx. Тепло, входящее в выделенный объем слева, определим по уравнению Фурье Q_x=-l S(dt/dx). За счет конвекции часть этого тепла dQ=a(t-t_c)dF=a(t-t_c)П dх отведется в среду, а остальное пройдет дальше по стержню за счет теплопроводности Q_x+dx=-lS(dt/dx)-(¶Q/¶x)dx. Приравняв разность теплопроводных потоков тепла конвективному тепловому потоку и произведя сокращения, получим a₁=(t_ст–t₀)П=-(¶Q/¶x)=lS(¶²t/¶x²).

Заменив температуру t на относительную v=t_ст-t₀ и обозначив комплекс констант для конкретного стержня одной величиной m=[aП/(lS)]^0,5, получим

¶²v/¶x²=mv. (2.10)

Решение последнего дифференциального уравнения второго порядка имеет вид

v=C₁exp(mx)+C₂exp(-mx).

Константы интегрирования этого решения определим из граничных условий:

– при х=0 Þ v=v_o и С₁+С₂=v_o;

– при х=L Þ v=0 и C₁exp(Lm)+C₂exp(-Lm)=0.

C₁=v_oexp(mL)/[exp(-mL)+exp(mL)]

и C₂=v_oexp(mL)/[exp(-mL)+exp(mL)].

Подставив значение констант интегрирования в решение дифференциального уравнения, получим

v=v_o{exp[m(x-L)]+exp[-m(x-L)]}/[exp(-mL)+exp(mL)]=
=v_och[m(x-L)]/ch(mL), (2.11)

где ch[m(x-L)] – гиперболический косинус произведения m(x-L).

Для конца стержня x=L выражение (2.9) упрощается:

v=v_o/ch(mL). (2.12)

Количество тепла, отведенное от поверхности стержня, при стационарных условиях будет равно теплу, входящему в стержень в месте его заделки Q=-lS(dv/dx)_x=0. Производную (dv/dx)_х=0 определим дифференцированием решения уравнения (2.9). После подстановки производной и констант интегрирования в последнее выражение, получим

Q=lmSv_o[exp(mL)-exp(-mL)]/[exp(-mL)+exp(mL)]=lmSv_oth(mL),(2.13)

где th(mL)=[exp(mL)-exp(-mL)]/[exp(-mL)+exp(mL)] – гиперболический тангенс произведения mL.

Анализ выражения (2.13) показывает, что увеличение длины стержня ведет к увеличению количества отводимого тепла. При этом следует отметить, что рост mL свыше 2¼3 тепловой поток практически не изменяет.

При использовании электронагрева мы имеем дело со стационарной теплопроводностью с внутренними источниками тепла. Рассмотрим бесконечно большую пластину (рис.2.3) с равномерно распределенными по её объему постоянно действующими источниками тепла интенсивностью q_v (Вт/м³). Так как условия теплообмена с обеих сторон стенки одинаковы, то температурное поле можно считать симметричным и имеющим максимум на оси пластины. Таким образом, при х=0 градиент температуры dt/dx=0. На поверхности пластины (х=d) тепловой поток со стороны пластины, определяемый по уравнению Фурье q=-ldt/dx, равен теплу, отводимому от стенки конвекцией q=a(t_cт-t_o). Таким образом, на поверхности стенки при х=±d Þ -ldt/dx=a(t_cт–t_o) и -dt/dx=a(t_cт–t_o)/l.

Дифференциальное уравнение нестационарной теплопроводности для плоской пластины при стационарных условиях с внутренними источниками тепла будет иметь вид d²t/dx²+q_v/l=0. Интегрируя это уравнение, получим dt/dx=-хq_v/l+С1 и t=-x²q_v/(2l)+С₁х+C₂.

Константы интегрирования определим из граничных условий:

– при х=0 Þ dt/dx=0; dt/dx=-хq_v/l+С₁=0 и С₁=0;

– при х=±d Þ dt/dx=-a (t_cт-t_o)/l и dt/dx=-хq_v/l+С₁=-dq_v/l+0.

Приравняв правые и левые части последних двух равенств, имеем – хq_v/l=–a(t_cт–to)/l. Отсюда t_cт=t_o+q_vd/a.

На поверхности пластины (при х=±d) температура в соответствии с решением дифференциального уравнения определится выражением t=t_cт=-х²q_v/(2l)+С₁х+C₂. Подставляя в последнее выражение х=d; С₁=0 и t_cт=t_o+q_vd/a, получим выражение для константы интегрирования С₂=t_o+q_vd/a+d²q_v/(2l). Окончательно для температуры в произвольном сечении стенки имеем

t=t_o+q_vd/a+(d²-x²)q_v/(2l). (2.14)

Судя по уравнению (2.13), температура в пластине изменяется по параболе с максимумом на её оси, определяемым по формуле

t_ц=t_o+q_vd/a+d²q_v/(2l). (2.15)

При стационарной теплопроводности бесконечного стержня с внутренними источниками тепла температура определяется также квадратичными уравнениями:

t=t_o+[1-(r/R)²]q_vR²/(4l)+q_vR/(2a) и t_ц=t_o+R²q_v /(4l)+q_vR/(2a), (2.16)

где R – радиус стержня, м.