Принцип аналитического продолжения
Областью определения искомой функции в краевой задаче (8.20) ... (8.22) является нижнее полупространство. Однако с помощью принципа симметрии область определения можно рассматривать и на верхнее полупространство, т.е. рассматривать течение в безграничной области.
Отобразим зеркальным образом относительно свободной поверхности погруженную часть тела и обозначим эту новую поверхность через Σ1 Потенциал φ продолжим на верхнее полупространство несимметричным образом. Для простоты изложения ограничимся плоским случаем, т. е. независимыми переменными будем считать лишь координаты х и у.
Итак,
(8.24)
Покажем, что на верхней полуплоскости уравнение Лапласа будет также удовлетворяться:
,
,
Таким образом,
что и требовалось доказать.
Обратимся теперь к граничному условию на поверхности зеркального отображения Σ1Нормальная скорость жидкости на Σ2 равна
Но из геометрии построения (рис. 8.4) ясно, что
;
С учетом взаимосвязи компонентов n и производных потенциала в верхней и нижней полуплоскости окончательно получаем
(8.25)
Пусть после удара скорость точек поверхности погруженной части тела равна
. (8.26)
При, ,ω = 0 имеем чисто горизонтальный удар, при ,,
ω =0—чисто вертикальный удар, при ,, ω = 0 — косой удар.
В соответствии с условием непротекания
а) на (8.27)
б) на (8.28)
Сопоставляя теперь формулы (8.27) и (2.28), с учетом (8.25) обнаруживаем, что при вертикальном ударе и вращении относительно оси z (,,) граничные условия на Σ и Σ1 полностью совпадают. Это означает, что движение указанного типа в безграничной жидкости будет происходить для составного тела как единого целого. При горизонтальном ударе (,,) граничные условия на Σ и Σ1 будут отличаться знаками. Это означает, что в безграничной жидкости данному типу движения отвечает горизонтальное соскальзывание в противоположных направлениях нижней Σ и верхней Σ1 половин составного тела. К аналогичному заключению приводит также вращение тела после удара около оси у, если рассматривается трехмерная задача.
Из сказанного ясно, что при вертикальном ударе и вращении относительно оси z можно использовать все имеющиеся решения о соответствующем движении составного тела в безграничной жидкости. При этом присоединенные массы при ударном движении μ1k будут равны половине соответствующих значений присоединенных масс λ1k при движении в безграничной жидкости.
При горизонтальном ударе требуются дополнительные исследования, поскольку характер движения обладает спецификой.
Укажем ударные присоединенные массы плавающего бесконечного эллиптического цилиндра, вертикальная полуось которого соответствует размеру погруженной части и обозначается «b», а горизонтальная полуось «а» лежит на горизонтальной поверхности. В общем случае будет
;
; (8.29)
Приведенные формулы получены для безотрывного обтекания эллипса при горизонтальном ударе. Анализ отрывного течения приводит к заключению, что отрыв происходит при координате у*=0,926, а ударные присоединенные массы равны
; ; (8.30)
Геометрия эллиптического цилиндра включает в себя практически важные частные случаи: вертикально или горизонтально плавающую пластину, наполовину погруженный круговой цилиндр.
Вместе с тем интерес представляют и другие конфигурации. При вертикальном ударе по сегменту кругового цилиндра (рис. 8.5) ударная присоединенная масса равна
(8.31)
|
При косом ударе по клиновидной призме (по клину) присоединенные массы при безотрывном обтекании равны
(8.32)
где - выражается через табличные интегралы Эйлера 1-го рода (бета-функции),
(8.33)
где Г (z) -табличная гамма-функция (интеграл Эйлера 2-го рода).
При углах килеватости 0<55° последняя формула хорошо аппроксимируется приближенным выражением
(8.34)
Переходя к задачам удара о жидкость плавающих осесимметричных тел, прежде всего нужно отметить, что число точных аналитических решений в этом случае значительно меньше, чем в плоском случае. По существу, круг решенных ударных задач ограничивается безотрывным обтеканием сферических сегментов, а также эллипсоидов и соответствующих им частных случаев—кругового диска, эллиптической пластины, полупогруженной сферы.
Для дальнейшего изложения напомним лишь наиболее употребительные результаты.
Присоединенная масса при центральном вертикальном ударе полупогруженного эллипсоида вращения равна
(8.35)
где , H - вертикальная полуось (глубина погружения); с0-горизонтальная полуось (радиус сечения на уровне невозмущенной свободной поверхности),
при 0<λ<1 (8.36)
при λ>1 (8.37)
В случае диска
(8.38)
(8.39)
Заметим, что при горизонтальном ударе полупогруженной сферы а в случае полупогруженной сферы