Пограничный слой на теле вращения.
Ограничимся рассмотрением стационарного осесимметричного течения. Уравнения Навье—Стокса в этом случае имеет вид
;
; (2.141)
где - оператор Лапласа в цилиндрической системе координат.
Рис.2.7 Пограничный слой на теле вращения
При записи уравнений использована цилиндрическая система координат (r,, х) (рис. 2.7), однако в силу осевой симметрии в уравнениях отсутствуют величины, зависящие от . Пусть уравнение поверхности обтекаемого тела есть r=rw(x), а внешняя граница пограничного слоя описывается уравнением .
Разность,очевидно, будет мало отличаться от толщины пограничного слоя в сечении х, которая измеряется по нормали к образующей. Для внутренних точек пограничного слоя введем координату «у», отсчитываемую по нормали к поверхности .
При x = const dr =dy, Vr=Vy. Поэтому дифференцирование по r можно заменить на дифференцирование по у. Кроме того, предположим, что . В силу этого в уравнении неразрывности (третье уравнение системы (2.141) rможно заменить на rw и придать уравнению вид
(2.142)
Если произвести оценку членов в первых двух уравнениях системы (2.141) тем же способом, что и в плоском случае, то получим уравнение пограничного слоя на теле вращения:
(2.143)
где обозначено r=В системе (2.143) х является уже криволинейной координатой, отсчитываемой вдоль образующей от точки торможения. Однако вклад продольной кривизны в уравнения не учтен. Оценим погрешность, вносимую таким подходом. Пусть ускорение жидкой частицы в проекции на ось у равно ау. Очевидно, кривизна может дать вклад в это ускорение, равный (—Vx2/R), где R — радиус продольной кривизны. Порядок этой величины O(VX2/L). Следовательно, за счет кривизны будем иметь
Остальные слагаемые в первом уравнении имеют меньший порядок О(Vx / L2). Введем средние значения скорости Vx ср и радиуса кривизны Rcp и проинтегрируем последнее уравнение
Таким образом, вновь получаем, что если /Rcp<<1, то р(у) = const. Однако это условие может и не выполняться, особенно в кормовой части.
Влияние поперечной кривизны отражает последний член уравнения (2.143). Эта форма записи особенно важна для расчетов течения в кормовой области, где значения rмогут быть очень малыми и необходимо учитывать взаимовлияние жидких частиц, двигающихся в различных меридиональных плоскостях. Вообще говоря, если толщина пограничного слоя становится соизмеримой с радиусом образующей, нужно использовать теорию толстого пограничного слоя, отличительной чертой которого является зависимость давления от радиуса. Однако эта теория сложна и пока не получила применения в инженерной практике.
В классической постановке уравнение (2.143) записывается в более простой форме. Полагая rr, получим
т. е. обычную форму записи плоского пограничного слоя. Однако уравнение неразрывности сохраняет прежний вид (2.142).
Получим теперь интегральное соотношение импульсов осесимметричного пограничного слоя. Перепишем уравнение выше в виде
а уравнению (2.142) придадим вид
Для удобства здесь обозначено Vx=u, Vy=. Вычитая из обеих частей последнего уравнения левую и правую часть предыдущего, найдем
Интегрирование данного соотношения по y дает
или
Здесь и - толщина вытеснения и толщина потери импульса, вычисленные тем же способом, что и для плоского пограничного слоя.
Если за основу взять систему (2.142), (2.143), то получим следующее интегральное соотношение импульсов:
или
где , - площадь вытеснения и площадь потери импульса соответственно: