СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ КАПЕЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ. УРАВНЕНИЕ СОХРАНЕНИЯ МАССЫ

Примем в качестве величины, ха­рактеризующей сплошную среду, плотность. Тогда в соответствии с (2.54) можно записать

(2.59)

где – массовый расход жидкости источников-стоков, располо­женных в рассматриваемом объеме , приходящийся на единицу объема.

Формулировке (2.59) можно предать иной вид:

(2.60)

Формулы (2.59) и (2.60) представляют собой интегральную формулировку закона сохранения массы. Если подынтегральное выражение существует в каждой точке объема, то можно записать

, (2.61)

что является дифференциальной формулировкой закона сохранения массы.

На практике значительно чаще встречаются задачи, в которых внутренние источники-стоки отсутствуют, так что можно положить . Следовательно, уравнение (2.61) можно переписать в усе­ченной форме:

, (2.62)

которое обычно называют уравнением неразрывности.

Смысл этого названия рельефно проступает при рассмотрении стационарного одномерного течения жидкости в канале переменного сечения. Будем считать, что на входе канал имеет площадь S_1, плот­ность жидкости и равномерную по площади скорость V₁. На выходе соот­ветственно будем иметь S₂, и V₂. В силу стационарности левая часть (2.59) обращается в нуль. При отсутствии источников-сто­ков второй интеграл в правой части также равен нулю. На стенках канала перетекания жидкости нет. Таким образом, (2.59) в рас­сматриваемом случае дает

(2.63)

Полученный результат утверждает, то, что количество массы, ко­торое втекает в канал слева за единицу времени, вытекает из него же справа, т. е. течение жидкости в канале неразрывно. Уравнение (2.63) называется также уравнением расхода, посколь­ку только что сформулированный вывод можно выразить короче: расход жидкости в канале остается постоянным.

В предположении уравнение (2.63) упрощается:

(2.64)

Итак, равенство нулю дивергенции вектора скорости служит признаком несжимаемости.

Вода является малосжимаемой средой, и в большинстве задач фактором сжимаемости с физической точки зрения можно пренеб­речь. Однако с точки зрения вычислительной гидромеханики этого делать не рекомендуется. Дело в том, что при численном решении задач стационарное течение рассматривается как предельное состояние нестационарных задач. В этих условиях отсутствие производной по времени в уравнении неразрывности делает невозмож­ным применение стандартных методов решения нестационарных задач. В моделях несжимаемой среды искусственно вводят сжима­емость, которая в предельном состоянии исчезает. Это прием называют методом псевдосжимаемости. Таким образом, сжимаемость в уравнении неразрывности в численных схемах иногда целесооб­разно сохранить.

Уравнение (2.62) в декартовой системе координат принимает вид

, (2.65)

или в индексной записи уравнение неразрывности

(2.66)

Напомним, что согласно правилам индексной записи по повторяю­щимся одноименным индексам предполагается суммирование, т.е.

.