Дифференциальные уравнения движения жидкости и их интегрирование

 

При выводе дифференциальных уравнений движения жидкость рассматривается как невязкая. Это дает возможность не учитывать силы трения и считать, что массовые силы и силы давления, являющиеся причиной движения, определяются так же, как и в покоящейся жидкости. Такие характеристики жидкой среды, как скорость и давление рассматриваются в качестве непрерывных функций координат точки и времени.

 

 

Выделим в движущейся жидкости бесконечно малую частицу в форме параллелепипеда. Рассмотрим уравнение движения вдоль оси Оx. На эту частицу будут действовать силы давления слева

 

силы давления справа

И массовая сила

где Х-проекция ускорения всех массовых сил на ось ОХ

В случае движения жидкости алгебраическая сумма проекций действующих сил должна равняться проекции силы инерции, равной произведению массы частицы на проекцию ускорения ее движения . С учетом этого получим

или после упрощения

 

Аналогично можно получить подобные уравнения и для осей OY и OZ.

 

Эти уравнения являются дифференциальными уравнениями движения невязкой жидкости (уравнения Эйлера). Они отличаются от соответствующих уравнений равновесия наличием в правой части проекций ускорения движения частицы на соответствующие оси.

В уравнениях в общем случае четыре неизвестных величины: p, u_x, u_y, u_z.Следовательно, для решения этой системы необходимо еще одно уравнение, а именно, уравнение неразрывности жидкости

 

 

Интеграл находится наиболее просто для случая движения невязкой жидкости

П – потенциальная функция, частные производные которой равны

Это выражение опубликовано академиком Петербургской Академии наук в 1738 и носит название интеграла Бернулли.