Вынужденные колебания. Переходный процесс

 

Решение полученное в § 1.4 уравнение вынужденных колебаний не зависит от начальных условий и поэтому не является единственным и общим. Это частное решение

Для общего решения заметим, что сумма решений нашего уравнения и уравнений затухающих колебаний:

Будет являться решением уравнения вынужденных колебаний, для этого чтобы в этом убедиться:

то есть x₁+x₂ является решением уравнения вынужденных колебаний мы учли, что уравнение затухающих колебаний имеет вид:

- определяются параметрами системы

- являются произвольными и определяться из начальных условий. Поэтому полученное решение является общим и единственным при заданных начальных условиях.

Рассмотрим частный случай нулевых начальных условий.

Подставим начальные условия в решение

Будем считать точно также как в §1.3, что затухание слабое. Тогда:

Таким образом мы нашли две произвольные величины, которые удовлетворяют нулевым начальным условиям.

Рассмотрим случай, когда

Так как х(0)=0 , то знак «+» не подходит

 

Таким образом полученное ранение состоит из двух частей, при этом вторая часть с течением времени уменьшается и через время релаксации практически исчезает и начиная с этого времени в системе будут наблюдаться колебания формулы которых были получены в §1.4.

При это говорят в системе наблюдается установившейся или стационарный процесс. Поэтому частное решение из §1.4 часто называется стационарным решением.

Это решение от начальных условий не зависит если

То существуют обе части решения и в системе наблюдается переходный процесс. Форма этого процесса определяется начальными условиями. Рассмотрим случай, когда в системе нет затухания, при нулевых начальных условиях тогда)

Таким образом при в системе никогда не будет наблюдаться установившееся решение. Всё время переходит процесс. Колебание такого вида- биение.