Синтез регуляторов методом вариационного исчисления

Рассмотрим одномерный стационарный объект, описываемый уравнениями (8.8) и представленный в виде функциональной схемы рис. 8.2.

 

Рисунок 8.2 – Функциональная схема автоматического управления одномерным стационарным объектом

 

Пусть передаточная функция УУ не задана. Необходимо найти её так, чтобы критерий качества (8.9) достиг минимального значения, а система в целом была физически осуществимой (аналогично устойчивой). Для этого будем полагать, что передаточная функция имеет нули и полюса только в левой полуплоскости*.

План решения задачи следующий: сначала свяжем критерий качества с передаточной функцией для замкнутой системы в целом; затем найдём такую физически осуществимую функцию , на которой критерий достигает минимума, после чего, воспользовавшись связью между и , , вычислим искомую функцию .

 

*Любую передаточную функцию можно представить в виде отношения полиномов . Если числитель прировнять к нулю и найти корни полинома, то эти корни называют полюсами, если найти корни для числителя, то они называются нулями. Чтобы система бала устойчивой необходимо, чтобы полюса и нули находились в левой полуплоскости. Зная полюса и нули , передаточную функцию можно записать в виде .

 

Запишем передаточную функцию для замкнутой системы. С учётом того, что , и (8.11), передаточная функция примет вид

. (8.16)

Из (8.16) определим искомую функцию .

; .

Откуда

. (8.17)

Из (8.17) видно, что для получения окончательного выражения передаточной функции управляющего устройства необходимо знать только передаточную функцию , при которой критерий качества (8.9) принимает минимальное значение. Для этого найдём связь между критерием и функцией . Так как , выразим , через функцию и, используя формулу Парсеваля (8.13), (8.14), запишем выражение для критерия качества.

Подставив (8.16) и (8.17) в выражение (8.11), получим

; (8.18)

.

Используем формулу Парсеваля (8.13), (8.14):

;

.

С учётом этих выражений критерий (8.9) примет вид

. (8.19)

Для минимизации критерия качества (8.19) возьмём частную производную от подынтегральной функции (8.19) по переменной и прировняем к нулю. В результате этого получается уравнение, подобное уравнению Эйлера.

На основании (8.19) можно сформулировать теорему оптимизации: для того, чтобы функционал (8.19) на функции , удовлетворяющей условиям физической осуществимости (полюса и нули функции находятся в левой полуплоскости), достигал экстремального значения, необходимо и достаточно, чтобы частная производная от подынтегральной функции (8.19) по имела только правые полюса.

Продифференцировав подынтегральную функцию (8.19) по , получим

, (8.20)

где - некоторая функция, имеющая правые полюса.

Чтобы (8.20) выполнялось при любых аргументах необходимо, чтобы сумма слагаемых слева, имеющих правые полюса, равнялась функции , а сумма слагаемых с левыми полюсами равнялась нулю. Разделим левую часть (8.20) на слагаемые с левыми и правыми полюсами.

;

. (8.21)

Далее введём новую функцию

, (8.22)

где функция имеет левые особые точки (полюса и нули), а - правые особые точки. Переход (8.22) называется факторизацией.

Подставив (8.22) в (8.21), получим

;

. (8.23)

Из (8.23) видно, что первое слагаемое слева имеет только левые особые точки, слагаемое справа – только правые особые точки, а вторе слагаемое слева – и левые, и правые особые точки.

Представим второе слагаемое слева в форме двух слагаемых, имеющих только левые (со знаком «+») и только правые (со знаком «-») особые точки.

. (8.24)

Такая операция называется расцеплением.

После проведения операции расщепления (8.24) выражение (8.23) принимает вид:

. (8.25)

Так как функция справа имеет только правые полюса, то равенство (8.25) справедливо, если сумма слагаемых слева, имеющих левые полюса, равна нулю. Таким образом,

,

откуда следует искомое выражение для передаточной функции замкнутой системы

, (8.26)

имеющее только левые полюса, т.е. соответствующее условию физической осуществимости системы.

Зная функцию , на основании (8.17) получаем выражение для искомой передаточной функции управляющего устройства .