Бесконечные антагонистические игры

Антагонистическая игра называется бесконечной, если хотя бы у одного из двух игроков существует бесконечное множество стратегий.

Рассмотрим общие сведения об этих играх.

Имеется игра Г=<X,Y,H>, X и Y — произвольные множества элементов . На каждую ситуацию (x,y) определена функция H=H(x,y), задающая выигрыш 1-ого и проигрыш 2-ого игрока. Обычно считают, что x и y — непрерывно меняющиеся параметры. Функция H(x,y) может быть непрерывной или кусочно-непрерывной.

В бесконечном варианте принцип разумности в поведении игроков сохраняется: 1-ый игрок стремится увеличить свой выигрыш за счет выбора стратегии x , а 2-ый стремится уменьшить свой проигрыш за счет выбора своей стратегии y .

Как и в конечном варианте игры, величину называют нижней ценой игры, — верхней ценой игры. Если , это бесконечная игра с седловой точкой (седловая точка — точка равновесия).

Если (x₀,y₀) — точка равновесия, то H(x,y₀)H(x₀,y₀)H(x₀,y). Любое отклонение от x₀ приводит к уменьшению выигрыша 1-ого игрока, а отклонение от y₀ — к увеличению проигрыша 2-ого.

В геометрии седлообразная точка не зависит от направления, вдоль которого функция возрастает или убывает. В данном случае седловая точка максимальна по x и минимальна по y

Функция H(x,y) должна быть аналитической, т.е. должны существовать ее первые производные по x и по y.

В теории игр нередко максимум и минимум принадлежат границам множеств Х или Y, а не являются внутренней точкой. В общем случае решение нужно искать в смешанном расширении игры.

Общих методов решения бесконечных антагонистических игр в настоящее время не разработано. В литературе описываются некоторые частные виды таких игр, которые предполагают достаточно простое решение, например, строго выпуклые игры на единичном квадрате.