Центры тяжести симметричных тел

Лемма. Если точки приложения параллельных сил расположены в одной плоскости, или лежат на одной прямой, то центр этой системы параллельных сил лежит в этой плоскости или лежит на этой прямой.

Доказательство.

1. Пусть точки приложения системы параллельных сил принадлежат плоскости (рис. 50), которую совместим с координатной плоскостью.

 

Тогда (). Следовательно, координата центра параллельных

сил

,

то есть центр системы параллельных сил принадлежит плоскости

2. Пусть точка приложения параллельных сил лежит на прямой (рис. 51)

Тогда , (). Вследствие этого , . Итак, точка лежит на прямой .

Теорема. Если тело имеет плоскость материальной симметрии, либо ось материальной симметрии, либо центр материальной симметрии, то центр тяжести тела лежит в этой плоскости, либо на этой оси, либо в этом центре.

Доказательство.

1. Плоскость материальной симметрии (рис. 52).

Пусть – плоскость симметрии Центр тяжести каждой пары симметричных частиц лежит в плоскости . Поэтому можно рассматривать систему параллельных равнодействующих , точки приложения которых лежат в плоскости .

Тогда, в соответствии с доказанной леммой, центр тяжести будет лежать в той же плоскости .

2. Ось материальной симметрии.

Пусть – ось материальной симметрии (рис. 53).

Центр тяжести каждой пары материальных частиц будет находиться на оси . Тогда центр тела принадлежит оси симметрии .

3. Центр материальной симметрии.

Пусть – центр материальной симметрии (рис. 54). Равнодействующая каждой пары симметричных частиц будет приложена в центре . Тогда центр тяжести тела будет лежать в центре материальной симметрии.

Теорема доказана.