Прямая и обратная зависимости декартовых и криволинейных координат
Если задана система отсчета , то в скалярной форме соотношение (1.5.1)
(1.5.1)
можно записать в виде
(1.5.3)
Из сформулированных в определении 1 свойств вытекает, что:
—функции , , однозначны и дважды непрерывно дифференцируемы;
—система (1.5.3) разрешима относительно обобщенных координат , так что
Разрешимость следует из теоремы о неявной функции, поскольку якобиан правой части системы (1.5.3) отличен от нуля при всех из области .
Действительно, матрица Якоби для системы (1.5.3)
(1.5.3)
имеет вид
.
Ее определитель совпадает с левой частью неравенства (1.5.2)
. (1.5.2)
А потому
.
Данное неравенство выполняется в любой точке из области .
Поэтому из определения 1 обобщенных координат следует, что справедливы условия теоремы о неявных функциях для системы уравнений (1.5.3), а из самой теоремы вытекает существование решений , , этой системы.