Статика. Введение.

Статика - это раздел теоретической механики, в котором излагается общее учение о силах и изучаются условия равновесия материальных тел, находящихся под действием сил.

Под равновесием тела в статике понимается состояние его покоя по отношению к другим телам, принимаемым за неподвижные.

Элементы векторной алгебры

В теоретической механике рассматриваются такие векторные величины как сила, моменты силы относительно точки и оси, момент пары сил, скорость, ускорение и другие.

1. Понятие вектора.

Для определенности рассматриваем прямоугольную декартову систему координат.

Вектор это направленный отрезок, который характеризуется длиной и направлением.

Операции над векторами. Вектора можно складывать и умножать на число.

сумма двух векторов есть вектор

произведение вектора на действительное число есть вектор

существует нулевой вектор

 

Рис. 1-1

В математике все вектора являются свободными, их можно переносить параллельно самим себе.

В сумме двух векторов (рис. 1-1а) начало второго вектора можно поместить в конец первого вектора, тогда сумму двух векторов можно представить как вектор, имеющий начало в начале первого вектора, а конец в конце второго вектора. Применяя это правило для суммы нескольких векторов (рис. 1-1б) получаем, что суммой нескольких векторов является вектор замыкающий ломаную линию, состоящую из слагаемых векторов.

Операции над векторами подчиняются следующим законам (см. рис. 1-2):

Рис. 1-2

 

2. Правые и левые системы координат.

Декартовы системы координат делятся на два вида: правую и левую.

Рассмотрим декартовы системы координат на плоскости (см. рис. 1-3).

При повороте оси Ox правой системы координат на 90^о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

Рис. 1-3 Рис. 1-4

 

Рассмотрим декартовы системы координат в пространстве (см. рис. 1-4).

При повороте оси Ox правой системы координат вокруг оси Oz на 90^о против часовой стрелки она совпадает с осью Oy .

 

3. Длина, проекции и направляющие косинусы вектора.

В дальнейшем будем рассматривать правую декартову систему координат. Единичные вектора вдоль осей Ox, Oy и Oz образуют систему единичных (или базисных) векторов. Любой вектор, имеющий начало в точке O, можно представить как сумму числа (a_x , a_y , a_z ) - это проекции вектора на оси координат (см. рис. 1-5).

Длина (или модуль) вектора определяется формулой и обозначается или

Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, которая определяется отрезком, отсекаемым перпендикулярами, опущенными из начала и конца вектора на эту ось. Проекция вектора считается положительной (+), если направление ее совпадает с положительным направлением оси, и отрицательной (-), если проекция направлена в противоположную сторону (см. рис. 1-6).

Рис. 1-5

Рис. 1-6

Направляющими косинусами cos(a), cos(b), cos(g) вектора называются косинусы углов между вектором и положительными направлениями осей Ox, Oy и Oz соответственно.

Любая точка пространства с координатами (x, y, z) может быть задана своим радиус-вектором

Координаты (x, y, z) это проекции вектора на оси координат.

4. Скалярное произведение двух векторов

Имеется два вектора и . , .

Результатом скалярного произведения двух векторов и является скалярная величина (число).

Записывается как или . Скалярное произведение двух векторов равно

Рис. 1-7

Свойства скалярного произведения:

 

5. Векторное произведение двух векторов

Имеется два вектора и . , .

Результатом векторного произведения двух векторов и является вектор . Записывается как или .

Векторное произведение двух векторов это вектор , перпендикулярный к обоим этим векторам, и направленный так, чтобы с его конца поворот вектора к вектору был виден против часовой стрелки.

Рис. 1-8

Длина (или модуль) векторного произведения равна .

Свойства векторного произведения:

Векторное произведение двух векторов вычисляется через их проекции следующим образом: