Вопрос 4. Выявление закономерностей (тенденций) динамического ряда. Эмпирические и аналитические методы их выравнивания.

Для выявления закономерностей (тенденций) динамического ряда используют две группы методов их выравнивания: эмпирические и аналитические.

Одним из эмпирических методов выравнивания является метод скользящей средней. Этот метод состоит в замене абсолютных уровней ряда динамики их средними арифметическими значениями за определенные интервалы. Вбираются эти интервалы способом скольжения: постепенно исключаются из интервала первые уровни и включаются последующие.

Например, если дан ряд ежегодных уровней: х₁, х₂,…, х₉, -- то трехлетняя скользящая средняя определяется следующим образом:

Для первого интервала: х‾₁=х₁+х₂+х₃;

Для второго интервала: х‾₂=х₂+х₃+х₄;

Для третьего интервала: х‾₃=х₃+х₄+х₅ и т.д..

В результате сглаживания получается ряд динамики, количество уровней которого на два меньше, чем у исходного теряются два крайних значения).

При аналитическом выравнивании статистические приемы сводятся к тому, что нужно подобрать математическую функцию определенного класса, значения которой наиболее близки к уровням выравниваемого ряда. Для этого используется метод наименьших квадратов.

Особенность рядов динамики состоит в том, что в качестве независимой переменной здесь всегда выступает фактор времени (t).

Выравнивание ряда сводится к определению параметров α₁, α₂,…, α_m функции:

хˉ=φ(t, α₁, α₂,…, α_m),

параметры которой определяются при решении системы нормальных уравнений.

При выравнивании ряда с помощью линейной функции

xˉ=a+bt

система нормальных уравнений имеет вид:

∑x_t=an+b∑t

∑x_tt=a∑t+b∑t²,

где х_t – значение уровней фактического ряда динамики; t – временные даты или номер соответствующего уровня ряда динамики; n – количество уровней ряда динамики.

В динамических рядах значение t почти всегда образует арифметическую последовательность, поэтому, чтобы упростить расчеты, удобно в качестве начала отсчета времени брать середину ряда. Тогда сумма нечетных степеней t будет равна нулю.

Если дан ряд динамики, содержащий нечетное количество уровней (например, 5), то его целесообразно представить в виде:

t=-2, -1, 0, 1, 2;

х=х_-2, х_-1, х₀, х₁, х₂.

Если ряд динамики, содержащий четное количество уровней (например, 6), то –

t=-5, -3, -1, 1, 3, 5;

х=х_-5, х_-3, х_-1, х₁, х₃, х₅.

Так как при этом ∑t=0, система нормальных уравнений упрощается:

∑x_t=an

∑tx_t=b∑t²

Отсюда,

а=∑x_t/n; b=∑tx_t/∑t².

 

Полученный параметр b можно интерпретировать следующим образом: если b>0, то уровни сглаженного ряда равномерно возрастают (на b единиц за каждую единицу времени); если b<0, то уровни равномерно снижаются. Таким образом, выравнивание по прямой применяется тогда, когда анализируемое явление проявляет тенденцию к равномерному развитию во времени. Этому типу развития свойственны стабильные или беспорядочно изменяющиеся абсолютные приросты.

Ряд динами с постоянными темпами роста отображается экспонентой:

xˉ=a+b^t.

Эту зависимость можно свести к линейной, прологарифмировав ее: logx_t=loga+tlogb (основание логарифмов не имеет значения). Воспользовавшись уже известной системой нормальных уравнений, определяем:

loga=∑logx_t/n;

logb=(∑t–logx_t)/∑t².

Параметр b представляет собой темп роста (снижения) изучаемого явления в единицу времени, то есть интенсивность развития.

При аналитическом выравнивании могут применяться и другие функции. Выбор функции основывается на анализе показателей динами и графического изображения ряда динамики.