Покажите сами, что в случае плоскости формулы (9.5) приобретают вид

(9.6') .

Обычно в описанной выше ситуации репер R называют "старым", репер R' – "новым", а формулы 9.6 – формулами перехода от старого репера к новому. Почему при этом выражают старые координаты через новые, а не наоборот, как было бы естественно ожидать, мы увидим позже.

Отметим два важных частных случая формул (9.6). Если O' = O, то говорят, что новый репер получается из старого заменой базиса, а если e_i = f_i (i = 1,2,3), то говорят, что новый репер получается из старого переносом осей. В первом случае формулы (9.5) приобретают вид

(9.7) ,

во втором – вид

(9.8) .

(9.9) Замечание. Поскольку векторы f₁, f₂ и f₃ некомпланарны, матрица в (9.6) должна иметь ненулевой определитель. Это условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы формулы 9.6 задавали переход от данного репера репере R = (О, e₁, e₂, e₃) к некоторому реперу R' = (O', f₁, f₂, f₃): достаточно положить O'(x_0, y_0, z₀)_R1, f₁(с₁₁, c₂₁, c₃₁)_R1, f₂(с₁₂, c₂₂, c₃₂)_R1, f₃(с₁₃, c₂₃, c₃₃)_R1.

6. Связь между координатами точки в двух ПДСК на плоскости. Пусть на плоскости даны два ортонормированных репера: R = (О, i, j,) и R' = (O', i', j'). Углом Эйлера пары реперов (R,R') называется ориентированный угол f между векторами i и i', причем, за положительную принята ориентация плоскости, заданная репером R. Смысл введения угла Эйлера состоит в том, что, узнав его, мы узнаем почти всё о координатах векторов i' и j' в репере R. В самом деле, i'(cosj, sinj)_R, а ориентированный угол между вектором i и вектором j' равен j+p/2, если реперы R и R' ориентированы одинаково и j–p/2 в противном случае, откуда j'(cos(j+p/2), sin(j+p/2))_R = (–sinj, cosj)_R в первом случае и
j'(cos(j–p/2), sin(j–p/2))_R = (sinj, –cosj)_R во втором. Таким образом, формулы перехода от одной ПДСК на плоскости к другой можно записать в виде

(9.10+) ,

когда системы координат ориентированы одинаково, и в виде

(9.10–) ,

когда они ориентированы противоположно, где (x_0,y₀) – координаты точки Q в репере R. Если ввести параметр e, равный 1 в первом случае и –1 во втором, то формулы (9.10+) и (9.10–) можно записать единообразно:

(9.10) .