Основные уравиения длинной линии

При синусоидальном напряжении источника питания напряжение и ток в линии на любом расстоянии х от ее начала изменяются во времени. Вместе с тем напряжение и ток изменяются вдоль линии. Установившийся режим. в длинной линии представляется довольно сложной пространственно-временной картиной, для изучения которой необходимо получить аналитическую зависимость напряжения и тока от двух независимых переменных — времени и расстояния.

Решить такую задачу можно используя схему замещения однородной линии (см. рис. 26.2). На схеме кроме параметров некоторого элемента длины линии dx обозначены напряжение и ток в начале и конце этого элемента, расположенного на расстоянии х от начала линии.

Падение напряжения в элементе длины dx линии

Разность токов в начале и конце того же элемента равна сумме тока утечки и емкостного тока:

Из этих выражений получают дифференциальные уравнения однородной линии, в которые входят комплексы токов . и напряжений, изменяющихся во времени по синусоидальному закону, а также их производные по переменной координате х:

где — полное сопротивление единицы линии (определяется продольными параметрами)

— полная проводимость единицы длины (определяется поперечными парамётрами линии).

Продольные R0, L0 и поперечные G0, С0 параметры линии характеризуют совершенно различные физические явления, поэтому между собой не связаны.

Далее можно составить уравнения, в которых переменными будут напряжение или ток. Для этого дифференцируем по х уравнения (26.1):

учитывая выражения (26.1), получим линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Решением первого уравнения из (26.2) является выражение

Уравнение тока получим