Тема 7. Операции над множествами
Множеством называют совокупность (класс, собрание, ассоциацию) различаемых объектов, рассматриваемых как единое целое, объединенных по некоторому общему признаку.
Мощность множества равна количеству элементов этого множества.
Множества можно задавать двумя способами:
1. Перечислением элементов
А = {2, 4, 6, 8…}
В = {«, , , ®, ¯}
2. Заданием общих свойств элементов
{x∈C | 0 < x ≤ 7} – множество {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
{x | x – чётное} – множество чётных чисел;
{x | x2 - 1=0} – множество {-1, 1}
3. Формальным законом построения элементов множества
Периодическая система элементов Менделеева
4. Графически
Операции над множествами
| Рассмотрим операции над множествами в порядке убывания приоритета. Пересечением (произведением) двух множеств называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам А и В одновременно. Обозначение: С = АìüВ | 
| ||
| Объединением (суммой) двух множеств А и В называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В (или тому и другому вместе). Обозначение: С = АîþВ |
| ||
| Разностью множеств А и В называется такое множество С, которое состоит из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Обозначение: С = А ½ В или С = А \ В |
| ||
Дополнением множества А до универсального множества U называется множество С, равное разности U½A.
Обозначение: С = U½А или С = 
|
| ||
| Симметрической разностью двух множеств А и В называется множество С = Аîþ В | Аìü В. Обозначение: С = А D В |
|
Формула включений и исключений
для двух множеств А и В: n(АîþВ)= n(А) + n(В) - n(А∩В).
для трех множеств А, В и С:
n(АîþВîþС) = n(А) + n(В) + n(С) - n(А∩В) - n(А∩С) - n(В∩С) + n(А∩В∩С)
где n(X) – количество элементов множества X, т.е. его мощность.
1. Задайте множество А перечислением его элементов:
| 0)A={xÎR| (x2–6x+5)×(x2–x–12)=0} | 1)A={xÎR |(x2–5x+6)×(x2+x–20)=0} |
| 2)A={xÎR| (x2 –5x +4)×(x2–x–6)=0} | 3)A={xÎR|(x2+4x–5)×(x2–7x+12)=0} |
| 4)A={xÎR| (x2+3x–4)×(x2+x–12)=0} | 5)A={xÎR |(x2–5x–6)×(x2–x–6)=0} |
| 6)A={xÎR |(x2 +x–2)×(x2–7x+6)=0} | 7)A={xÎR|(x2–3x–4)×(x2–9x+20)=0} |
| 8)A={xÎR |(x2–3x+2)×(x2–4x–5)=0} | 9)A={xÎR |(x2–x–2)×(x2–x–20)=0} |
2. Заданы множества: А = {1, 3, 9, 10, 8}, B = {5, 3, 11, 4, 8} и
C = {1, 4, 8, 9, 10}. Найдите элементы множеств Д и Е:
| 0)Д = АîþВìüС; Е = (А D В) | С; | 1)Д = (АîþС) | (ВìüС); Е = А| ВìüС; |
| 2)Д = АîþВîþС; Е = АìüС D В; | 3)Д = (АîþС)ìüВ; Е = А DВîþС; |
| 4)Д = (АîþС) | В; Е = (В D С) | А; | 5)Д = АìüВìüС; Е = С D В | А; |
| 6)Д = Аîþ(В D С); Е = А | В | С; | 7)Д = (ВîþС) | (АìüС); Е = АîþВ | С; |
| 8)Д = (АîþВ)ìüС; Е = А D В | С; | 9)Д = (АîþВ) D С; Е = АìüВ | С; |
3. Укажите штриховкой множествa Aìü B и Aîþ B:
| 0)А={(x, y) | x2 + y2 £ 1}; B={(x, y) | | x + 2y | < 3} | 1)А={(x, y) |x2 + y2 ³ 4}; B={(x, y)| | 4x - y | £ 2}; |
| 2)А={(x, y) | x2 + y2 = 9}; B={(x, y) | | 4y + x| > 1}; | 3)А={(x, y) | x2 + y2 < 25}; B={(x, y) | | 2x + 2y| >5}; |
| 4)А={(x, y) | x2 + y2 ³ 4}; B={(x, y) | | 3x + y| < 6}; | 5)А={(x, y) | x2 + y2 £ 16}; B={(x, y) | | x + 3 | ³1}; |
| 6)А={(x, y) | x2 + y2 < 36}; B={(x, y) | | x + y | ³ 2}; | 7)А={(x, y) | x2 + y2 > 9}; B={(x, y) | | 2x - y | £ 1}; |
| 8)А={(x, y) | x2 + y2 > 16}; B={(x, y) | | x - 3y| > 5}; | 9)А ={(x, y) | x2 + y2 £ 36}; B={(x, y) | | x + 4y| <8}; |
4. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна множества А, В и С, если все множества имеют общие точки:
0) а)U½  ; б)  ìü B½C;
| 1) а)CîþА½  ; б)(А½В)îþC;
|
2) а) (A D В)½C; б)  ìüС;
| 3) а)АìüВ½С; б)AìüВîþС½А; |
| 4) а) ½С; б)(В½А)ìüC;
| 5) а) ìü ½С; б)  ½С;
|
| 6) а)С½АîþВ; б) ìü (В D С);
| 7) а)U½  ; б)CìüА½ ;
|
| 8) а)A½ (B D C); б)С½АìüВ; | 9) а) (АîþВ)ìü(В D С); б)AîþВ½C; |
5. Вычислите, используя формулу включений и исключений:
0) В классе 25 учащихся, 10 из них играют в волейбол, 12 играют в футбол, а 5 занимаются и тем и другим. Есть ли в классе ученики, равнодушные к волейболу и к футболу?
1) В поход ходили 80% учеников класса, а на экскурсии было 60% класса, причем каждый был в походе или на экскурсии. Сколько процентов класса были и там, и там?
2)Из 23 учащихся класса 13 посещают математический кружок, 8 – физический, 11 – не посещают кружки. Сколько учеников посещают и математический и физический кружки?
3) Художник за месяц работы написал 34 картины. На 15 из них есть лес, на 25 – река, а на 13 – и то, и другое, на остальных картинах – не пойми что. Сколько картин изображают не пойми что?
4) На зачете по геометрии были предложены две задачи: по планиметрии и стереометрии. Из 22 учеников задачу по планиметрии решили - 17, а по стереометрии – 14 человек. При этом задачи по планиметрии и стереометрии решили 16 человек. Существуют ли ученики, не решившие ни одной задачи?
5) В итоговом отчете по смотру худ. самодеятельности: в смотре приняли участие 22 студента 1 курса: из них 13 - танцевали, 8 – пели, некоторые и танцевали и пели. Почему отчет не приняли?
6)В группе детсада 26 детей, 12 из них любят шоколадные конфеты, 9 - любят шоколадные конфеты и мармелад. Сколько детей любят только мармелад?
7) Сколько мальчиков в классе, если баскетболом занимаются 8 человек, футболом – 6, баскетболом и футболом – 5, а 3 ничем не занимаются?
8) В цирк ходили 70% учеников класса, а 30% класса были в цирке и в театре. Сколько учеников ходило в театр, в процентах?
9) Сколько девочек в классе, если вязанием занимаются 11 человек, шитьем – 8, вязанием и шитьем – 10, а 5- не занимаются ничем?
6. Вычислите, используя формулу включений и исключений:
0) За время отпуска 12 дней шел дождь, 8 дней дул сильный ветер, а 4 дня было холодно. Сколько дней была плохая погода, если: дождливых и ветреных дней было 5; дождливых и холодных – 3 дня; ветреных и холодных – 2 дня; дождливых, ветреных и холодных – 1 день.
return false">ссылка скрыта1) На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 920 абитуриентов задачу по алгебре решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стереометрии — 400. Ни одной задачи не решили 70 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, решившие все задачи?
2) На олимпийских играх наши спортсмены завоевали 96 медалей, из них 65 золотых и бронзовых, а золотых и серебряных 61. Сколько было золотых, серебряных и бронзовых медалей в отдельности?
3) Среди 100 деталей прошли обработку на 1-м станке 42 штуки, на 2-м - 30 штук, а на 3-м - 28. Причем на 1-ом и 2-ом станках обработано 5 деталей, на 1-ом и 3-ем - 10 деталей, на 2-ом и 3-ем - 8 деталей, на всех трех станках обработано 3 детали. Сколько деталей обработано на первом станке и сколько деталей не обработано ни на одном из станков?
4) Из 35 учащихся класса 12 посещают математический кружок, 9 – физический, 10 – литературный. Из них 5 посещают математический и физический, 4 – математический и литературный, 3 – физический и литературный. 7 - не посещают кружки. Сколько учеников посещают все кружки?
5) В первом классе читать умеют 12 учеников, считать – 8, писать – 9; читать и писать – 4, читать и считать – 5, писать и считать – 3; читать, писать и считать – 2; 6 учеников до сих пор ничему не научились. Сколько учеников в классе?
6) В классе 25 учащихся, 7 из них занимаются баскетболом, 8 волейболом, 6 футболом. Причем 5 занимаются баскетболом и волейболом, 6 баскетболом и футболом, 3 волейболом и футболом, 4 занимаются тремя этими видами спорта. Есть ли в классе ученики, равнодушные и ко всем трем видам спорта?
7) В отчете об обследовании студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих немецкий, французский и английский языки, таково: все три языка изучают 5 человек, немецкий и английский - 10, французский и английский - 8, немецкий и французский - 20, английский язык - 30 человек, французский - 50, немецкий - 23. Инспектор, представивший этот отчет, был уволен. Почему?
8) Фирма, заказавшая исследование рынка кондитерских изделий, получила следующий отчет. Из 1000 опрошенных 510 нравится шоколад, 490 – конфеты и 427 – леденцы. Из них: 189 – нравится шоколад и конфеты, 140 – шоколад и леденцы, 105 – конфеты и леденцы, 80 – шоколад, леденцы и конфеты. Покажите, что в этой информации есть ошибки.
9) По итогам сессии из 25 студентов группы на «отлично» сдали: информатику - 7 человек, физику – 5 человек, историю – 9 человек. 6 получили «отлично» по истории и физике, 6 получили «отлично» по информатике и истории, 5 получили «отлично» по трем предметам, 15 не получили ни одной пятерки. Сколько учеников имеют отличные оценки по информатике и по физике?